Comparación de los que no. de abelian grupos de orden $p^r$ con el fin de $q^r$

Question

[J. B. Fraleigh, Ejercicios 11, problema 37] Deje $p$ $q$ ser distintos números primos. ¿Cómo el número de abelian grupos de orden $p^r$ en comparación con el número de abelian grupos de orden $q^r$ ?

Por ejemplo, puedo tomar $p = 2$, $q = 3$ y $r=3$. A continuación, para $p = 2, r = 3$, tenemos $\mathbb Z_8$, $\mathbb Z_4 × \mathbb Z_2$ y $\mathbb Z_2 × \mathbb Z_2 × \mathbb Z_2$. Asimismo, para $q = 3, r = 3$, tenemos $\mathbb Z_{27}$, $\mathbb Z_9 × \mathbb Z_3$ y $\mathbb Z_3 × \mathbb Z_3 × \mathbb Z_3$.

Parece que tienen la misma no. de abelian grupos, ya que depende de $r$. Pero no estoy seguro si estoy en lo cierto. Cualquier ayuda o sugerencia se agradece.

Answer 1

De acuerdo con el Teorema Fundamental de Finito Abelian Grupos, estos deben ser iguales.

Ver https://proofwiki.org/wiki/Fundamental_Theorem_of_Finite_Abelian_Groups

Answer 2

El número de tales grupos es igual al número de particiones de $r$, $p(r)$, por FTFAG (en ambos casos).

Answer 3

Sí, la clasificación teorema para finitos abelian grupos indica que los de orden $p^r$ tienen suma de descomposición en $p$-potencia cíclica de los grupos. Usted puede encontrar un grupo correspondiente de la orden de $q^r$ tomando cada sumando y reemplazar sólo la base, es decir, tenemos un bijection $$ \bigoplus_{i}\Bbb Z/p^{n_i}\Bbb Z\mapsto \bigoplus_{i}\Bbb Z/q^{n_i}\Bbb Z$$ (donde $\sum n_i=r$ y nosotros por ejemplo, normalizar exigiendo $0<n_1\le n_2\le \ldots $)