el mínimo de esta función

Question

Definir $f(x,y) = (a - bx - by)e^{-(x^2+c y^2)}$ donde$c > 1$$b>a$, a continuación, definir

$g(x,y) = f(x,y)$ si $x<y$ $g(x,y)=f(y,x)$ si $x>=y$.

Ver la función $g(x,y)$.

Obviamente $g(x,y)$ es simétrico con respecto al $x=y$ y no diferenciable en a $x=y$, pero no sé por qué el mínimo de $g(x,y)$ también se produce en $x=y$?

Answer 1

Asumir: $$a,b,c,x,y\in\mathbb{R}:\,c>1,$$ y definir: $$g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}.$$

Cambio de coordenadas

Considere la posibilidad de: $$x=\frac{1}{2}(v+u),\,\,y=\frac{1}{2}(u-v),$$ $$u=x+y,\,\,v=x-y,$$ $$\displaystyle g(u,v)=\left( a-bu \right) \,{\mathbb{exp}\left[{-\frac{1}{4}\, \left( {v}^{2}+{u}^{2} \right) \left( 1+c \right) +\frac{1}{2}\, \left( 1-c \right)\, u \a la izquierda| v \right| }\right]}. $$ El valor absoluto de a $v$ se ocupa de los tramos de la definición, se destaca la simetría y la muestra de que la función no es diferenciable w.r.t $v$$v=0$.

Son no estacionarias valores a lo largo de $v\ne0$?

$${\frac {\partial }{\partial v}}g \left( u,v\neq 0 \right) =0\Rightarrow \left| v \right| ={\frac { \left( 1-c \right) u}{1+c}}$$

Para $c>1\, (c<1)$ hay puntos estacionarios a lo largo de $v$, distribuidos de forma simétrica alrededor de $v=0$, cuando se $u<0\, (u>0)$; que es la única región en la que la ecuación anterior es solucionable. Estos puntos estacionarios se unen como $u\rightarrow 0$. Donde la ecuación anterior no es solucionable, no puede haber puntos estacionarios en $v\ne0$ y por lo tanto el máximo o mínimo de $g$ debe estar en la discontinuidad $v=0$.

Son los puntos estacionarios en $v\ne0$ máximos o mínimos?

Para $c>0$ la exponencial decae monótonamente a cero para grandes $v$, este, de la naturaleza cuadrática de la $v$ dependencia y la positividad del término exponencial, asegurar que, donde los puntos estacionarios existen:

• el valor de $g$ en la discontinuidad $v=0$, está más cerca de a $0$ que el valor de $g$ en los puntos estacionarios,
• los puntos estacionarios son máximos a lo largo de $v$ al $a-bu>0$ y son mínimos al $a-bu<0$.

Cuando son las condiciones para que los puntos estacionarios existente en $v\ne0$ y una negativa pre-factor de forma simultánea solucionable?

Definir el prefactor: $$p=a-ub=|b|\left(\mathbb{sign}(a)\left|\frac{a}{b}\right|-\mathbb{sign}(b)u\right)$$

y examine la tabla de abajo.

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \mathbb{sign}(a)& \mathbb{sign}(b) & \text{cond. on } u\,\, \text{for}\,\, p<0 & \text{min/max} \\ \hline+&+&u>\left|\frac{a}{b}\right|&\text{1 min @}\,v=0,\text{2 max @}\,v\ne0\, \\ \hline +&-&u<-\left|\frac{a}{b}\right|&\text{2 min @}\,v\ne0,\text{1 max @}\,v=0\, \\ \hline -&+&u>-\left|\frac{a}{b}\right|&\text{1 min @}\,v=0,\text{2 max @}\,v\ne0\, \\ \hline -&-&u<\left|\frac{a}{b}\right|&\text{2 min @}\,v\ne0,\text{1 max @}\,v=0\,\\ \hline \end{array}

Para $p<0$ las dos primeras filas de la fuerza de $u$ a ser exclusivamente $+$ o $-$ y el final de la columna se rellena en consecuencia de los debates anteriores. En la segunda de las dos filas $u$ no está obligado a ser exclusivamente $+$ o $-$, pero estos son llenadas por el reconocimiento de éstos como simple sobre todos los cambios de signo en $g$ de filas $1$$2$. En el final de la fila, vemos que $a<b$ no es suficiente para un mínimo en $v=0$ si $b<0$.

Más bien, una condición necesaria y suficiente para para un único mínimo en$v=0$: $$0<b,$$ y entonces usted tiene dos máximos a las $v\ne0$.

Donde están los puntos estacionarios ubicados?

La min/max punto fijo @ $v=0$ se encuentra utilizando: $${\frac {\partial }{\partial u}}g \left( u,0 \right) ={u}^{2}-{\frac {a u}{b}}-\, \frac{2}{1+c} =0,$$ $$u=\frac{1}{2}\,{\frac {a}{b}}\pm\frac{1}{2}\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+ \frac{8}{1+c}},$$

y las condiciones en la tabla dictan que, como $0<c$ ( $c>1$ ), se debe escoger el $+$ en todos los casos y por lo tanto, en todos los casos de este punto fijo se encuentra en: $$u=\frac{1}{2}\,{\frac {a}{b}}+\frac{1}{2}\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+ \frac{8}{1+c}},\,v=0\,:\,x=y=\frac{1}{4}\,{\frac {a}{b}}+\frac{1}{4}\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+ \frac{8}{1+c}}.$$ En el anterior, el $-$ elección corresponde a una silla de montar-como punto entre los dos min/max de puntos estacionarios @ $v\ne0$. La min/max de puntos estacionarios @ $v\ne0$ mismos pueden ser localizados por medio de: $$\left({\frac {\partial }{\partial u}}g \left( u,v \right)\right)|_{ \left| v \right| ={\frac { ( 1-c ) u}{1+c}}} =0\Rightarrow {u}^{2}-{\frac {a}{b}}u-\frac{1}{2c}-\frac{1}{2}$$ $$u={\frac {a}{2b}}\pm\frac {1}{2}\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+\frac {2}{c} +2}$$ y porque la existencia de estos puntos requiere de $u<0$ tomamos el $-$ y luego tenemos la ubicación de dos puntos estacionarios en: $$u={\frac {a}{2b}}-\frac {1}{2}\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+\frac {2}{c} +2},\,\,v=\pm\frac{1-c}{1+c}\left({\frac {a}{2b}}-\frac {1}{2}\,\sqrt {{\frac {{a}^{2}}{{b}^{2}}}+\frac {2}{c} +2}\right)$$

Ejemplo: $$a=1,b=2,c=3,$$ mínimo de$g$: $$u=1,v=0:x=y=\frac{1}{2}.$$

Answer 2

(no una respuesta completa, pero un comienzo).

El parcial de $f(x,x+t)$ con respecto al $t$ $t=0$ es $$(4bcx^2-2acx-b)e^{(-c-1)x^2}.$$ El cuadrática de un factor positivo discriminante, a fin de saber que para asegurarse de que uno tiene un máximo o un mínimo a lo largo de $y=x$ algunas hipótesis acerca de la $a,b,c$ debe forzar a un determinado signo para el factor cuadrático. En la actualidad no veo cómo sus condiciones de $c>1,b>a$ solo decidir el signo de la ecuación cuadrática.