$F(x)$ es una función periódica con petiod $k$

Question

Si $f$ ser una función periódica con período de $k$$f(-x)=-f(x)$$\bigg[-\frac{k}{2}\;,\frac{k}{2}\bigg]$. Entonces demostrar que $\displaystyle \int^{x}_{a}f(t)dt$ es una función periódica con período de $k$

La solución que he intentado

Deje $\displaystyle F(x)=\int^{x}_{a}f(t)dt$. A continuación, $\displaystyle F(x+k)=\int^{x+k}_{a}f(t)dt$

$\displaystyle F(x+k)=\int^{x}_{a}f(t)dt+\int^{x+k}_{x}f(t)dt$

$\displaystyle F(x+k)-F(x)=\int^{x+k}_{x}f(t)dt$

Quiero un poco de ayuda de Cómo demostrar a $F(x)$ es función periódica. Me ayudan plaese

Answer 1

Sugerencia

Debido a $f$ se supone debe ser periódica $$\int^{x+k}_{x}f(t)dt = \int^{\frac{k}{2}}_{-\frac{k}{2}}f(t)dt$$

Y como $f$ se supone que ser impar en $[-\frac{k}{2},\frac{k}{2}]$, el lado derecho de la anterior igualdad se desvanece. Por lo tanto $F(x+k)-F(x)=0$.

Answer 2

Sugerencia: $\int_x^{x+k}f(t)dx=\int_{{-k}\over 2}^{k\over 2}f(t)dt=0$. Desde $f$ $k$- periódico, (hacer el cambio de variables $u=t-x-{k\over 2}$).

Escribir $u=-x$, $\int_0^{k\over 2}f(t)dt=-\int_0^{{-k}\over 2}f(-u)du=\int_0^{{-k}\over 2}f(u)du=-\int_{{-k}\over 2}^0f(u)du$.

Answer 3

Sugerencia: deje $u = t-x-\frac{k}{2}$ en el último integral y utilice el hecho de que $f$ es impar en $[-k/2,k/2]$.

Answer 4

$$\displaystyle F(x+k)-F(x)=\int^{x+k}_{x}f(t)dt$$

Usted está casi allí. Tenga en cuenta que

$$\displaystyle \int^{\frac{k}{2}}_{-\frac{k}{2}}f(t)dt = 0$$ because the function is odd. Also, since its periodic with period $k$, eso significa que cualquier cambiado la versión de la integral anterior de la siguiente manera

$$\displaystyle \int^{\frac{k}{2} + x_0}_{-\frac{k}{2} + x_0}f(t)dt = 0$$

también es 0. Elija $x_0=x +\frac{k}{2}$, luego

$$\int^{x+k}_{x}f(t)dt=0=F(x+k) -F(x)$$