Límite de una suma que involucran fracciones

Question

Trabajando con algunos problemas en la función del suelo, me di cuenta de que la suma $$\frac {1}{n}\sum_{{\sqrt{n}}\leq x\leq n}\left\{\sqrt {x^2-n}\right\} $$

donde $n$ $x$ son enteros, $\left\{f(x)\right\}$ denota la parte fraccionaria de $f(x)$, e $n$ tiende a $\infty$, parece converger a $\approx 0.44...$. Por ejemplo, para $n=10^6$, la suma da $0.4414959...$. Me interesaría saber si existe un cerrado expresión de este valor. Traté de resolver esto a partir de que comúnmente se utilizan fórmulas que involucran la función del suelo, pero no pudo demostrarlo.

Answer 1

Es más fácil de calcular: $$ L=\lim_{m\to +\infty}\frac{1}{m^2}\sum_{m\leq x\leq m^2}\left\{\sqrt{x^2-m^2}\right\}=\lim_{m\to +\infty}\frac{1}{m^2}\sum_{0\leq x\leq m^2-m}\left\{\sqrt{x^2+2mx}-(x+m)\right\}. \tag{1}$$ Obviamente, el argumento de la última parte fraccionaria es siempre negativo, y la solución real de $\sqrt{x^2+2mx}-(x+m)=-1$ está dado por $x=\frac{(m-1)^2}{2}$ y la solución real de $\sqrt{x^2+2mx}-(x+m)=-k$ está dado por $x_k=\frac{(m-k)^2}{2k}$. Por las sumas de Riemann, nuestro límite es igual al límite de $\frac{1}{m^2}$ veces $$ \int_{x_1}^{m^2-m}\left(\sqrt{x^2+2mx}-(x+m)+1\right)\,dx + \int_{x_2}^{x_1}\left(\sqrt{x^2+2mx}-(x+m)+2\right)\,dx+\ldots $$ como $m\to +\infty$, es decir, $$\large\scriptstyle \lim_{m\to +\infty}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m^2}{4} \left(1-2\log(2m)\right)+\frac{1}{16}+\frac{m^2-1}{2}+\sum_{k=1}^{m-1}(k+1)\left(\frac{(m-k)^2}{2k}-\frac{(m-k-1)^2}{2k+2}\right)\right)$$ que se simplifica a: $$\lim_{m\to +\infty}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m^2}{4} \left(1-2\log(2m)\right)+\frac{1}{16}+\frac{m^2-1}{2}+\frac{2m^2 H_{m-1}-m^2-m+2}{4}\right)$$ y, finalmente, a:

$$ L=\color{red}{\frac{1+\gamma-\log 2}{2}}=0.44203424217\ldots $$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante, debido a la asintótica fórmulas para armónica de los números.