Menor n tal que existe un polinomio en $\Bbb Z_n [X]$ de grado 4 que tiene 8 raíces en $\Bbb Z_n$

Question

Estoy buscando el menor entero positivo $n$ de manera tal que hay un polinomio de cuarto grado en $\Bbb Z_n [X]$ que tiene 8 diferentes raíces en $\Bbb Z_n$.

Tengo n igual a 15 con raíces 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 y la ecuación de $x^4-1=0$ pero no estoy seguro de si se puede ir más abajo (es posible tener n igual a 8?)

También, mientras que mi experiencia matemática apenas toca la superficie de la teoría de números y álgebra abstracta por lo tanto no estoy buscando para probar esto, me gustaría entender por qué mi reclamo de la minimality de n es cierto (o por qué el tuyo para n menos de 15) que actualmente no lo hacen.

Answer 1

Ver el$4x(x+1)$,$\mathbb{Z}_8$. Uy, una ecuación cuadrática! Multiplicar por algo.

Para otro ejemplo, esta vez monic, el uso de $x(x+1)(x+2)(x+3)$, de nuevo en $\mathbb{Z}_8$.

Answer 2

Para monic ejemplos, intente $f(x) = x^4 + 2 x^3 + 7 x^2 + 6 x$ o $x^4 + 6 x^3 + 3 x^2 + 6 x$$\mathbb Z_8$.

EDIT: Y en el siguiente nivel, hay monic sextics $\mathbb Z_{16}$ $16$ raíces distintas. Por ejemplo, ${x}^{6}+3\,{x}^{5}+9\,{x}^{4}+5\,{x}^{3}+6\,{x}^{2}+8\,x$.

Answer 3

Cada número raied a $4$ termina en los mismos dígitos que el número en sí, por lo $X^4-X$ 10 raíces en $\Bbb Z_{10}$, lo $15$ no es la respuesta.