Encontrar todas las raíces de $x^{6} + 1$

Question

Estoy estudiando para mi examen de álgebra lineal y me encontré con este ejercicio que no puedo resolver.

Encontrar todas las raíces del polinomio $x^{6} + 1$ . Sugerencia: utilice la fórmula de De Moivre.

Adiviné que dos raíces son $i$ y $-i$ , ya que:

$i^{6} = (i^{2})^{3} = (-1)^{3} = -1 $

por lo tanto, $i$ es la raíz y su conjugado complejo $-i$ tiene que ser la raíz también. Sin embargo, eso fue sólo una suposición. No tengo ni idea de cómo puedo utilizar la fórmula de De Moivre aquí.

¿Puede ayudarme a resolver esto?

Answer 1

Una pista: si $x^6=-1$ entonces $|x|^6=1$ y puedes escribir $x=\cos\theta + i\sin\theta$ .

detalles:

Entonces la ecuación es, gracias al teorema de De Moivre y $\cos^2 + \sin^2 =1$ , equivalente a $$ \cos 6\theta =-1\\ 6\theta = \pi\mod 2\pi\\ \theta\in \frac \pi 6+\left\{0, \frac\pi 3, \frac{2\pi}3,\pi,\frac{4\pi} 3, \frac{5\pi}3 \right\}. $$

Answer 2

Me gustaría añadir que esto es posible de resolver utilizando fórmulas bien conocidas para $x^n\pm a^n$ : $$\begin{align}x^6+1&=(x^3)^2-i^2=(x^3+i)(x^3-i)=(x^3-i^3)(x^3+i^3)\\&=(x-i)(x^2+ix+i^2)\cdot(x+i)(x^2-ix+i^2)\end{align}$$

Y ahora puedes utilizar la fórmula de las raíces cuadráticas para obtenerlas todas de forma explícita.

Answer 3

Si $z^6 + 1= 0$ entonces $z^6 = -1$ . Podemos escribir $-1 = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi+2\pi n)}$ donde $n \in \mathbb{Z}$ . De ello se desprende que $$(-1)^{1/6} = \{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/6+\pi n/3)} : n \in \mathbb{Z}\}$$ Poniendo $n=0,1,2,3,4,5$ le dará todas las soluciones que necesita. Por ejemplo, cuando $n=1$ : $$z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/6+\pi /3)} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/2)} = \cos\tfrac{\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\tfrac{\pi}{2} = \mathrm{i}$$

Answer 4

La forma más fácil de hacer estos problemas es utilizando la forma polar de un número complejo.

$$ x^6 + 1 = 0 \rightarrow x^6 = -1 $$

Escriba $-1$ como un número complejo en forma polar con el $+2\pi n$ (la forma más general), entonces escribe $x$ como un número complejo general:

$$ \left(re^{i\theta}\right)^6 = 1e^{\pi i + 2\pi n i} \\ r^6 e^{6\theta i} = 1 e^{\left(\pi + 2\pi n\right)i} $$

Desde aquí, $r = 1$ (porque $x^6 = 1$ sólo tiene una raíz real: $x = \sqrt[6]{1} = 1$ ). Entonces, sólo hay que poner los ángulos iguales:

$$ 6\theta = \pi + 2\pi n \\ \theta = \frac{\pi + 2\pi n}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}n $$

Ahora sigue incrementando $n$ hasta que empiece el bucle (lo que ocurrirá después de $6$ valores consecutivos de $n$ ):

$$ \theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}, ... $$

Si quiere escribirlos como $a +bi$ entonces hay que convertir cada una de ellas en $r\cos(\theta) + ri\sin(\theta)$ .