acceso directo para encontrar la inversa de la matriz

Question

Necesito trucos o atajos para encontrar la inversa de a $2 \times 2$ $3 \times 3$ matrices. Tengo que tomar un tiempo basado en el examen, en el que tengo que encontrar la inversa de las matrices cuadradas.

Answer 1

Para una matriz de 2x2, la inversa es: $$\left(\begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array}\right)^{-1} = {1 \over a d - b c} \left(\begin{array}{rr} d&-b\\ -c&a \end{array}\right)~,~~\text{ donde } ad-bc \ne 0.$$

simplemente cambie la 'a' y 'd', niega la 'b' y 'c', entonces divide a todos por el determinante $a d - b c$.

Eso es realmente el más directo de 'truco', memorizar ese patrón.

Para 3x3, es mucho más complicada, pero hay un patrón. Como es habitual calcular el determinante de la primera (como una especie de dolor; pero seguramente usted ya sabe que el patrón para calcular rápidamente).

$$\left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i \end{array}\right)^{-1} = {1 \over {\rm{det}}} \left(\begin{array}{rrr} e i - f h&-(b i - c h)&b f - c e\\ -(d i - f g)&a i - c g&-(a f -c d)\\ d h - e g&-(a h - b g)&a e - b d \end{array}\right).$$ El patrón es que cada entrada es

• el determinante de la submatriz conseguido mediante la eliminación de la fila y la columna. I. e. para la fila 2 columna 3 ($f$ posición, el factor determinante es $a h - b g$: $$\det\left(\begin{array}{cc} a&b\\ g&h \end{array}\right) = h b g$$

• a continuación, se multiplican en el patrón de tablero de ajedrez. (me.e.1x1 es positivo, 1x2 es negativo... matemáticamente es multiplicar por $(-1)^r(-1)^c$.

• Luego de incorporar.

Ver? Hay un patrón, pero creo que se trata de la misma complejidad simbólica, como acaba de hacerlo la fuerza bruta de Gauss-eliminación de estilo.

Answer 2

Su mejor apuesta es la de Gauss-Jordan método.

Answer 3

Así queremos encontrar una manera para calcular $2 \times 2 ~\text{ or }~ 3 \times 3$ matriz de sistemas de la manera más eficiente. Bueno, yo creo que la ruta que queremos ir sería el uso de la Regla de Cramer para la $2 \times 2 \text{ or } 3 \times 3$ de los casos. Para el estado de la $2 \times 2$ caso vamos a utilizar la siguiente:

Para algunos matriz de coeficientes de Un= $\left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right]$

$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc} \cdot \left[ \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right]~ \iff ad-bc \ne 0$ $~~~~~~~~~\Grande($i.e., Det(A)$~\ne ~ 0\Big)$

Para el $3 \times 3$ de los casos, nos indican que como la siguiente:

$x_{1} = \dfrac{|b~~x_{2}~~x_{3}|}{|\bf{A}|}~~,$

$x_{2} = \dfrac{|x_{1}~~b~~x_{3}|}{|\bf{A}|}~~,$

$x_{3} = \dfrac{|x_{1}~~x_{2}~~b|}{|\bf{A}|}.$

Esto viene a partir de la matriz de la ecuación: ${\bf{A\vec{x}}}={\bf{\vec{b}}},~~~$ donde $\vec{x}=[x_{1}~~x_{2}~~x_{3}]^{T}$.

Para los elementos de la matriz $A = \left|\begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|,~~$ puede ser extendido para las soluciones de $x_{1},~x_{2},~x_{3}$

como para saber que ${\bf|{A}| =} ~ |a_{ij}| ~ \not= ~ 0.$

$x_{1} = \dfrac{1}{|{\bf{Un}}|} \left|\begin{array}{rrr} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|$,

$x_{2} = \dfrac{1}{|{\bf{Un}}|} \left|\begin{array}{rrr} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{array} \right|$,

$x_{3} = \dfrac{1}{|{\bf{Un}}|} \left|\begin{array}{rrr} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{array} \right|$.

Una forma alternativa de hacerlo sería mediante la reducción de la fila métodos, conocido como Eliminación Gaussiana( ref ) o de Gauss-Jordan Eliminación( rref ).

Espero que esto haya ayudado. Quiero saber si hay si hay algo que no entiendo.

Gracias.

La Buena Suerte.