En el 2-por-2 particiones de dos rectángulos, hay siempre un par de no-partes solapadas?

Question

Hay dos rectángulos, el rojo y el azul. Cada rectángulo se divide en 4 sub-rectángulos utilizando un corte paralelo a su lado mayor y dos cortes paralelos a su lado más corto, como este:

¿Siempre sale un par de sub-rectángulos, uno rojo y uno azul, que no se superponen?

NOTA: en un principio pensé que la respuesta debe ser positiva, incluso cuando particionado en 3 sub-rectángulos. Sin embargo, he encontrado un ejemplo negativo. En las particiones, cada una de azul sub-rectángulo se superpone a todos los tres de la roja sub-rectángulos (y viceversa):

EDIT: aquí está una hoja de cálculo de Geogebra para jugar con.

Answer 1

Creo que la respuesta es sí, siempre hay un par de sub-rectángulos que no se superpongan. Aquí es un esquema de la prueba.

Deje que el segmento de la corte largo, que se encuentra entre los dos puntos de intersección con el más corto cortes de ser llamado el Segmento Central (CS).

Supongamos que todos los cuatro azules sub-rectángulos superposición de los cuatro roja sub-rectángulos.

A continuación, considere la posibilidad de un azul sub-rectángulo R. Cada uno de los cuatro roja sub-rectángulos debe contener un punto que está dentro de R. Tomar cuatro puntos, uno de cada una red de sub-rectángulo, y unirse a ellos para hacer un cuadrilátero P.

Cada borde de Q debe estar dentro de R (ya que conecta dos puntos en R). Por lo tanto, Q se encuentra totalmente dentro de R.

Ahora Q debe cruzarse con el CS del rectángulo rojo, o debe encierre completamente (ya que la única manera de dibujar un cuadrilátero sin la intersección de la roja CS es la rodean). Por lo tanto, el rojo CS pasa a través de R.

Lo mismo es cierto para cada uno azul sub-rectángulo. Por lo tanto, el rojo CS pasa a través de cada uno azul sub-rectángulo.

Vamos K y M sean los dos extremos de la red CS, como se muestra en este diagrama:

Nota cualquier segmento que pasa a través de cada uno azul sub-rectángulo - como el rojo CS hace aquí - debe cruzar tanto el azul del CS y los dos cortes más cortos del rectángulo azul. (Un segmento puede o no puede continuar más allá de los límites del rectángulo azul.)

Ahora, considere la roja sub-rectángulo con vértice en M, cuyos bordes no se superponen a la red de CS. Hay dos posiciones posibles de este sub-rectángulo, mostrada por los dos rectángulos discontinuos MOPL y MNQL en el diagrama. Pero ninguno de estos pueden coincidir con el rectángulo azul que contiene o está más cercano a K (el otro extremo de la red CS), que se muestra como GDFH en el diagrama. Esto puede ser demostrado por (por ejemplo) teniendo en cuenta la proyección del rectángulo GDFH en la línea KL: esta proyección está enteramente dentro del segmento KM, mientras que las proyecciones del potencial de la roja sub-rectángulos MOPL y MNQL son el segmento ML.

Por lo tanto tenemos una red de sub-rectángulo que no se solapa con un azul sub-rectángulo, y han llegado a una contradicción.