Informática: $\lim\limits_{n\to\infty}C_n$ donde $\displaystyle{C_n=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{n}{nk^2+k+1}}$

Question

Me gustaría encontrar una equivalencia en el infinito a la siguiente secuencia. $$C_n= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{n}{nk^2+k+1}$$ Aquí están las da a preguntas

1-Encontrar el $\lim_{n\to\infty}C_n$

2 - Si el límite de golpes hasta dar una equivalencia en el infinito.

Para la primera pregunta, me la $$C_n(k)= \frac{n}{nk^2+k+1}$$

entonces $$\lim_{n\to\infty}C_n(k) =\frac{1}{k^2} $$ and I proved that the sequence $(C_n(k))_n$ es monotono por lo tanto, surge de la convergencia monótona que, $$\lim_{n\to\infty}C_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{n}{nk^2+k+1}= \sum_{k=1}^{\infty} \lim_{n\to\infty}\frac{n}{nk^2+k+1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} =\frac{\pi^2}{6}$$

Es este razonamiento correcto si sí, entonces estoy interesado en conocer un poco más elegante (si hay alguna) de la solución de este. si no me dan respuesta. No soy de cómo resolver la cuestión en el caso de que el límite es el infinito.

Answer 1

$$\sum_{k\geq 0}\frac{1}{(k+a)(k+b)}=\frac{\psi(a)-\psi(b)}{a-b}\qquad\left(\scriptstyle{\psi(x)=\frac{d}{dx}\log\Gamma(x)}\right)$$ por lo tanto, por factoring $k^2+\frac{k}{n}+\frac{1}{n}$ $$\sum_{k\geq 1}\frac{n}{n k^2+k+1}= \frac{\pi^2}{6}-\frac{\zeta(3)+\zeta(4)}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Huelga decir que, los primeros términos de la expansión asintótica se puede encontrar por creative telescópica™ demasiado.

Answer 2

SUGERENCIA:

El primer término de la serie es $n$. Para la parte restante, tenga en cuenta que tenemos

$$\begin{align} \left|\sum_{k=1}^\infty \left(\frac1{k^2}-\frac{1}{k^2+\frac{k+1}{n}}\right)\right|&=\frac1n\sum_{k=1}^\infty \frac{k+1}{k^2\left(k^2+\frac{k+1}{n}\right)}\\\\&\le \frac2n \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3} \end{align}$$