Caracterización secuencial de la cerrazón del conjunto

Question

Dejemos que $(X, d)$ sea un espacio métrico. Un conjunto $F\subset X$ es cerrado si y sólo si para cada secuencia $\left\{x_n\right\}\subset F$ , si $x\in X$ y $x_n\rightarrow x$ entonces $x\in F$ .

Definición de conjunto cerrado: Un conjunto es cerrado si y sólo si su complemento es abierto. Un conjunto $U$ es abierto si y sólo si $\forall_{x\in U}\exists_{r>0}B(x,r)\subset U$ , donde $B(x,r)$ es una bola con medio en $x$ y con radio $r$ .

Es un hecho bastante conocido que he utilizado muchas veces al resolver problemas, pero justo ahora me he dado cuenta de que no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

$\Rightarrow$ : Supongamos que $F$ está cerrado y deja que $\{x_{n}\}\subset F$ para que $x_{n}\to x$ para algunos $x\in X$ . Demostramos que $x\in F$ . Sea $U$ sea cualquier nhood de $x$ . Desde $x_{n}\to x$ existe $k\in\mathbb{N}$ para que $x_{n}\in U$ para todos $n\geq k$ . En particular, $U\cap F\neq \emptyset$ (ya que por ejemplo $x_{k}\in U\cap F$ ). Dado que $U$ era un nhood arbitrario de $x$ Esto demuestra que $x$ está en el cierre de $F$ que es igual a $F$ desde $F$ es un conjunto cerrado. Por lo tanto, $x\in F$ .

$\Leftarrow$ : Demostramos que $F$ se cierra siempre que se cumpla esta última propiedad. Sea $x$ sea cualquier elemento del cierre de $F$ : demostramos que $x\in F$ . Elija $x_{n}\in B(x,\frac{1}{n})\cap F$ para todos $n\in\mathbb{N}$ (tales $x_{n}$ existe desde $x$ está en el cierre de $F$ de ahí que cada nhood de $x$ se cruza con $F$ ). Ahora $x_{n}\to x$ y por la suposición de esta dirección tenemos $x\in F$ . Por lo tanto, el cierre de $F$ es un subconjunto de $F$ por lo que en realidad son iguales, ya que un conjunto es siempre subconjunto de su cierre. Pero esto significa que $F$ es un conjunto cerrado.