PI como un conjunto infinito de enteros

Question

Yo sólo tuve una interesante conversación con mi niño que le preguntó a un inocente pregunta acerca de la $\pi$:

Si $\pi$ es infinita - ¿eso significa que en algún lugar, hay otro $\pi$?

Miré a mi alrededor y encontré esta pregunta y un par de otros similares, pero me temo que mis conocimientos matemáticos es un poco limitado para sacar una conclusión definitiva a la pregunta de arriba.

Más conversación produjo una cuestión secundaria:

Hay un lugar dentro de $\pi$ cuando la completa anterior conjunto de números (a partir de la $3.14...$) se repite todo el camino hasta el principio de que la repetición?

Esta pregunta parece bastante difícil para mí como mi suposición es que un conjunto que debe existir (porque el conjunto es infinito, por lo que la probabilidad de que dicho conjunto de la existencia debe ser no -$0$, ¿verdad?) pero no debemos "esperar" para una repetición del tiempo que se repite en un conjunto que debe ser, lo que hace que la "espera" que no... y yo estoy cayendo en una recursividad aquí :)

Además, el hecho de que $\pi$ es irracional significa que no hay repetible secuencias de dígitos en ella (si mi interpretación es correcta) que tipo de se produce fuera de toda "una secuencia que debe de existir desde que la serie es infinita" de la lógica.

Una extensión a la segunda pregunta es:

Es posible calcular la probabilidad de que un subconjunto de la existencia (el uno que se repite todos los vistos anteriormente números en la misma secuencia) y si es así - lo que haría que la probabilidad de ser?

Answer 1

Sólo algunas ideas iniciales mientras reflexiono más.

Permítanme aclarar la pregunta que yo creo que se le está pidiendo un poco. ¿Existe un entero $n > 0$ tal que la primera de las $n$ dígitos de $\pi$ (incluyendo el $3$) seguido por el mismo $n$ dígitos? Después de eso, los dígitos pueden continuar a lo largo arbitrariamente.

(Yo interpreto la pregunta de esta manera, ya que se asume que la totalidad de $\pi$ se repite indicaría que $\pi$ era racional, que se sabe que es falsa.)

Estoy bastante seguro de que la respuesta a esta aclaró pregunta es desconocido. Si $\pi$ es en realidad normal, como muchas personas esperan (pero no se sabe, tampoco), entonces es posible que la razón de la siguiente manera:

Después de la primera $n$ dígitos, ¿cuál es la probabilidad de que la próxima $n$ dígitos duplicar los primeros dígitos? Si $\pi$ es normal, esta probabilidad es $1/10^n$. Si denotamos por a $N$ el número más grande para que esto se conoce no ser así, entonces la probabilidad de que lo que sucede finalmente habría un límite inferior de $1/10^{N+1}+1/10^{N+2}+\cdots = 1/(9 \cdot 10^N)$.

Es sólo un límite inferior, ya que la primera $n$ dígitos bien pueden tener un sufijo que duplica algunas de las necesidades de los dígitos de $\pi$ para la repetición. No tengo una buena sensación en el momento en que, dado un azar del número normal, lo profundo un sufijo puede ir, y cómo afectaría a la probabilidad. Parece raro para mí, sin embargo, que se levantaría en cualquier lugar cerca de $1$.

ETA: tal vez podemos realizar un superior obligado, en la forma siguiente. Vamos a asumir todo tipo de independencia que en realidad no son garantizados, sin embargo, que podría dar un poco de perspicacia, de todos modos.

Supongamos que sabemos que la primera $2n$ dígitos no contienen ninguna satisfactoria de la duplicación. ¿Cuál es la probabilidad de que la última $n-1$ estos $2n$ dígitos duplicado la primera $n-1$ dígitos de $\pi$? Es $1/10^{n-1}$ (suponiendo independencia). ¿Cuál es la probabilidad de que, dado que la última $n-1$ estos $2n$ dígitos duplicado la primera $n-1$ dígitos de $\pi$, que los próximos dos dígitos completa de una duplicación de esfuerzos? Es $1/100$. El producto de estos dos es $1/10^{n+1}$.

¿Cuál es la probabilidad de que la última $n-2$ estos $2n$ dígitos duplicado la primera $n-2$ dígitos de $\pi$? Es $1/10^{n-2}$. ¿Cuál es la probabilidad de que, dado que la última $n-2$ estos $2n$ dígitos duplicado la primera $n-1$ dígitos de $\pi$, que el próximo cuatro dígitos completa de una duplicación de esfuerzos? Es $1/10000$. La probabilidad de que estas es $1/10^{n+2}$.

Y así sucesivamente. Debemos ser capaces de cota superior de la probabilidad de que se produzca una duplicación antes de la $4n$th dígitos por $1/10^{n+1}+1/10^{n+2}+\cdots = 1/(9 \cdot 10^n)$. Si el mayor prefijo de $\pi$ sabemos que no contiene dicha duplicación, tiene una longitud de $2N$, entonces el total de la probabilidad debe ser no más de la suma

$$ \frac{1}{9 \cdot 10^N}+\frac{1}{9 \cdot 10^{2N}}+\frac{1}{9 \cdot 10^{4N}} + \cdots < \frac{1}{9 \cdot (10^N-1)} $$

Obviamente, me he tomado un montón de libertades aquí. Cualquier pensamiento, cualquier persona, por si alguna de ellas importa?

Answer 2

Respuesta corta: si$\pi$ contenía un$\pi$, entonces ese$\pi$ contendría un$\pi$, y así sucesivamente, convirtiendo todo en un decimal recurrente y, por lo tanto, racional. Sin embargo,$\pi$ considerado como una secuencia contiene una subsecuencia que sería$\pi$, y que contiene otra subsecuencia, y así sucesivamente. El problema se debe al requisito bastante estricto de que la subsecuencia debe ser una cola no trivial.

Answer 3

Niño lindo. Espero que anímelo a estas preguntas y a cosa de cómo se podría contestar.

Preámbulo: creo que uno de los errores más comunes de las matemáticas es la variación de la expresión "la cosa interesante acerca de pi es que va para siempre y nunca se repite". Esto no es exclusivo de pi y no se encuentra en el bit menos inusual. Los números irracionales son en realidad mucho más común de lo que racionales. No creo que la mayoría de la gente, ni siquiera la mayoría de los matemáticos, de forma intuitiva se dan cuenta de lo que los números con infinitos decimales expansiones decir.

Piense acerca de esto: Para cualquier secuencia de números a los que usted se puede imaginar de la manera, usted puede hacer un número irracional de que. Y ten en cuenta esto: entre el número de .4446 y .4447 usted tiene que "ir a través de" un conjunto infinito, cada conjunto de posibles combinaciones de infinito y finito, pero sobre todo infinito, secuencias de números que comiencen con 4 4 4 6..... 44461284749487493... es allí, 44463141592653.... es allí, 44467777777777.... es de allí. 444612345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637.... es incluso allí. Están todos allí. Están comenzando a ver cómo muchos de los comunes y sin embargo, cuán extraño y enorme éstos son?

Así, no hay realmente ninguna razón deberíamos estar hablando de la pi. Podríamos estar hablando de cualquier número irracional y podemos hacer cualquier posible número irracional que nos gusta.

1) a la Normalidad, los patrones y repitiendo: "Si un número se repite es racional, de lo contrario es irracional". Tipo de. Un número racional va a terminar (llegar a un 0 y tiene 0s para siempre) o llegar a un punto donde se volverá a repetir un único patrón para siempre. Ejemplo: 1/7 = 0.14285714285714285714285714285714... que se repite 142857 una y otra vez. Un número irracional puede repetir un patrón un par de veces y, a continuación, dejar de fumar. Incluso se puede repetir un patrón para siempre si hay variaciones y se rompe en el patrón. .123012300123000123000012300000123000000.... "se repite", pero hay variaciones para que no se repita la misma cosa exactamente por lo que es irracional.

Ahora un "normal" número irracional, uno elegimos arbitrariamente, "no" tiene ningún patrón discernible, pero tienen los dígitos en una normal distribución arbitraria. (Hay infinitos números que no , pero hay "más" que lo hacen). pi es probablemente normal, pero realmente no sabemos.

2) cadenas Específicas: Todas las cosas ser arbitrario, esperamos que cualquier cadena de caracteres en particular de n dígitos que aparecen una vez cada $10^n$ lugares miramos. Que no es muy a menudo, pero como un irracional tiene un infinito esperamos que se muestre una y otra vez. Pero nosotros no esperamos que se muestre en un lugar específico.

Así que esperamos que los primeros mil dígitos de pi para aparecer más tarde en pi, pero no podemos esperar que aparezca en *exactamente el 1001 lugar. Si tomamos irrationals al azar esperamos que 1 de cada 10 se iniciará con el primer número se repite dos veces. Esperamos que de 1 en 100 para comenzar con los primeros dos dígitos repetidos dos veces. 1 en 1000 para los tres primeros. Y 1 en un googol a repetir los 100 primeros dígitos dos veces.

PERO sabemos que estos números hacen existir y como todo patrón de suceder podemos hacer uno. Al no existir un número que comienza con 3.1415926 y continuando con los primeros 1000 dígitos de pi y, a continuación, inmediatamente que se repitan. Pero ese número no es pi. (Dentro de 1000 dígitos de pi por lo que su cierre.*)

3) la Búsqueda de pi en pi: Bien, cuando decimos cualquier número aparecerá en el pi se nos suele implicar finito número aparecerá en pi. Es logísticamente, así, sin sentido, para encontrar una secuencia infinita dentro de una secuencia, porque ... bueno, si la inserta la secuencia es infinito tiene un comienzo pero no un fin, y si no tiene un final que no podemos poner nada en "el otro lado", y por lo tanto no estamos en realidad "insertar".

Pero, como podemos hacer cualquier secuencia de números en un número irracional, podemos hacer algún tipo de "fractal" decimal donde los patrones de 31415926 se insertan dentro de sí mismos en las grandes y pequeñas y telescópico patrones. (Pero que seguro que como diablos no es normal irracional). Exactamente cómo el patrón se define corresponde a nosotros, pero a medida que el número no tiene fin, no podemos esperar a ser simétricamente anidadas ni nada de eso.

*[Nota yo sólo implícitas hay 10000000000 googal números diferentes, todos dentro de un mil decimales de pi! Eso es mi punto principal. Hay un montón de números irracionales y están muy apretadas y son infinitamente variadas.]

Answer 4

Giro mi comentario en una respuesta: para finito de repeticiones de secuencias finitas desde el principio, no se sabe como de 20151001 (creo que no tenemos (aún?) encontró uno, de lo contrario sería viral).

No se sabe si $\pi$ es normal o no. Es posible que haya un poco de magia de la propiedad (por ejemplo, empezar a ir a $\dotsc\,01001000100001\dotsc$ desde el lugar decimal $10^{10^{10^{100}}}$), de tal manera que la respuesta a tu pregunta es definitivamente no (en general, es decir, para lo suficientemente grande como la secuencia), o (a partir de la posición decimal $10^{10^{10^{100}}}$, repetir desde el principio) definitivamente sí. La racionalidad implica la expansión decimal se repite para siempre. No está prohibido que un número irracional a repetir (un número finito de veces) algunos (finito) de secuencia decimal y , a continuación, seguir a volver loco.