Límite uniforme / Hahn-Banach pregunta

Question

Deje que$X=C(S)$ donde$S$ sea compacto. Supongamos que$T\subset S$ es un subconjunto cerrado tal que por cada$g\in C(T),$ hay un$f\in C(S)$ tal que:$f\mid_{T}=g$. Demuestre que existe una constante$C>0$ tal que cada$g\in C(T)$ puede extenderse continuamente a$f\in C(S)$ de tal manera que:$\sup_{x\in S}\left|f(x)\right|\leq C\sup_{y\in T}\left|g(y)\right|$

Answer 1

$C(S) \to C(T)$ es un mapa lineal delimitado de los espacios de Banach (con sup sup.), por lo que hay un subespacio lineal cerrado$M \subset C(S)$ tal que$C(S)/M \to T$ es biyectivo y está acotado con la norma del cociente. El teorema de mapeo inverso dice que el inverso es un mapa lineal acotado. La declaración entonces sigue.

Por cierto, ¿cómo se relaciona esto con Banach-Steinhaus / Hahn-Banach?