¿Por qué$\lim_{z\to\infty}\frac{\sin(z)}z$ no existe?

Question

Creo que si permitimos$t=\frac1z$, entonces$$\lim_{z\to\infty}\frac{\sin(z)}z=\lim_{t\to0}t\sin(\frac1t)=0$ $ pero no sé por qué en las variables complejas de Ablowitz-Fokas, en "Respuesta a ejercicios impares", la respuesta es "no existe" ?

Answer 1

Tenga en cuenta que$z$ y, por lo tanto, su$t$ no es necesariamente real . Investiga qué sucede cuando dejas que$z$ se aproxime$\infty$ a lo largo del eje imaginario.

Answer 2

Sugerencia : a diferencia del seno real y el coseno, el seno y el coseno complejos son ilimitados.

Elija dos secuencias$a_n$ y$b_n$ de modo que$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\infty$ pero$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\sin(a_n)/a_n$ y$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\sin(b_n)/b_n$ sean diferentes.

Answer 3

Insinuación: $\sin(ix) = i\sinh(x)$. Por lo tanto, si ese límite existe, este límite también debe existir:$$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(ix)}{ix}=\lim_{x \to \infty} \frac{i\sinh(x)}{ix}$ $