Suma de tres variables dadas dos ecuaciones

Question

Dado$$x^2+y^2+z^2=121$ $$$x\sqrt{11} + 4y + z\sqrt{22}=77$ $ Encuentra$$ \frac{\sqrt{11} + 4 + \sqrt{22}}{x+y+z} $ $

Al principio intenté conectar algo para z, ya que x e y deberían tener valores únicos para cada valor de z, pero eso no parece funcionar.

La respuesta es 7/11, que es claramente la segunda ecuación dividida por la primera, pero no entiendo cómo o por qué conduciría la expresión final.

Answer 1

$x^2+y^2+z^2=121$ Es la ecuación de una esfera centrada en el origen del radio 11.

$x\sqrt{11} + 4y + z\sqrt{22}=77$ es la ecuación de un plano

El origen es$\frac {77}{\sqrt {11 + 4^2 +22}} = 11$ unidades del avión!

El plano es tangente a la esfera.

el punto de tangencia$(x,y,z) = \frac {11}{7}\cdot(\sqrt{11} , 4, \sqrt {22})$

$x+y+z = \frac {11}{7} (\sqrt {11} + 4 + \sqrt{22})$

$\frac {\sqrt {11} + 4 + \sqrt{22}}{x+y+z} = \frac {7}{11}$

Answer 2

INSINUACIÓN:

WLOG$x=11\cos u\cos v,y=11\cos u\sin v,z=11\sin u$

PS

$$77=\sqrt{11}\cdot11\cos u\cos v+4\cdot11\cos u\sin v+\sqrt{22}\cdot11\sin u$ $$$\iff7=S=\sqrt{11}\cos u\cos v+4\cos u\sin v+\sqrt{22}\sin u$ $

Por $$=3\sqrt3\cos u\cos\left(v-\arcsin\dfrac4{3\sqrt3}\right)+\sqrt{22}\sin u$

PS

Ahora $\cos u\ge0,$

Así que necesitamos $$S\le3\sqrt3\cos u+\sqrt{22}\sin u$

$3\sqrt3\cos u+\sqrt{22}\sin u=7\cos\left(u-\arccos\dfrac{3\sqrt3}7\right)\le7$

Answer 3

INSINUACIÓN:

PS

PS