Demostrando que un subconjunto de$l^{2}$ es compacto

Question

Definir $B \subset \ell^{2}$ por $$B = \{x \in \ell^{2}: \sum_{n=1}^{\infty}n|x_{n}|^{2} \leq 1 \}. $$ Mostrar que $B$ es compacto.

He encontrado esta pregunta, mientras que estudiar para un examen. He intentado demostrar que $B$ fue secuencialmente compacto tomando una secuencia arbitraria $\{ x^{(k)} \}_{k \geq 1} \in \ell^{2}$, y el uso de un argumento de diagonalización para extraer una larga $\{ x^{k(j)} \}_{j \geq 1}$ con la propiedad de que $$\lim_{j \to \infty}x_{n}^{k(j)} = x_{n} \in \left[-\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{\sqrt{n}} \right],$$ for each $n \in \mathbb{N}$. I proved that $x = (x_1,\dots,x_{n},\dots) \B$, but can't find a way to prove that my original sequence converges to $x$ in the $\ell^{2}$ norm. Is this approach correct so far, or would it be easier to show that $B$ es completo y totalmente acotado?

Answer 1

He aquí algunos rectores de la línea. Supongamos que tenemos $(x_{n,j})_{j\ge 1}\in B$ tal que para cada una de las $n\ge 1$, $$ \lim_{j\to\infty}x_{n,j}=x_n $$ exists. We can show that $(x_n)_{n\ge 1}\in B$, mediante la aplicación de Fatou del lexema, por ejemplo. Entonces tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty n|x_{n,j}-x_n|^2 \le 2\left(\sum_{n=1}^\infty n|x_{n,j}|^2+\sum_{n=1}^\infty n|x_n|^2 \right)\le 4 $$ por Cauchy-Schwarz. Finalmente, a partir de $$ \sum_{n=1}^\infty |x_{n,j}-x_n|^2\le\sum_{n=1}^{N -1}|x_{n,j}-x_n|^2 +\frac1N\sum_{n=N}^\infty n|x_{n,j}-x_n|^2, $$ we can deduce that $x_{\cdot,j}\xrightarrow{j\to\infty} x$ in $\ell^2$.