¿Es positivo un funcional lineal que es positivo en un conjunto de proyecciones linealmente generador?

Question

Dejemos que $A$ sea un C unital $^*$ álgebra, y supongamos que existe un conjunto de proyecciones $P \subset \mathcal{P}(A)$ cuya extensión lineal es densa en $A$ . Si $\varphi \in A^*$ tiene $\varphi(p) \ge 0$ para todos $p \in P$ ¿se deduce que $\varphi \ge 0$ ?

Obsérvese que esto se cumple si cada elemento de $A$ puede aproximarse en norma por una combinación lineal de mutuamente ortogonales proyecciones en $P$ (dado cualquier $x^*x \in A_+$ una aproximación de este tipo para $x$ llevará a una aproximación de $x^*x$ por una combinación lineal con coeficientes positivos), pero ¿hay alguna razón para creerlo en general?

Answer 1

No.

Toma $A=\mathbb C^2$ , $\varphi(a,b)=2a-b$ y $$ \mathcal P=\{(1,0),(1,1)\}. $$ Entonces $\operatorname{span}\mathcal P=A$ y $\varphi(1,0)=2$ , $\varphi(1,1)=1$ . Pero $\varphi$ no es positivo, ya que $\varphi(0,1)=-1$ .