(Anillos conmutativos con 1)
En una conferencia introductoria álgebra conmutativa, se me presentó con un ejercicio que, básicamente, sólo preguntó:
Para un no-cero divisor $a\in R$, tenemos $(a)/(a^2)\cong$ ?
Bien, una tentadora supongo que sería $(a)/(a^2)\cong (1)/(a)\cong R/(a)$.
Tratando de demostrar esto, yo solo iba a construir la más natural isomorphisms lo que podía pensar. Yo escribia la prueba, y más tarde se dio cuenta de que había un error. He intentado solucionarlo, pero parece cualquiera que sea la dirección que elija, siempre me encuentro con un problema similar, como el de abajo; En la muestra $\psi$ ser un anillo de homomorphism. He dejado la prueba como yo la primera la escribió, pero con un ajuste de señalar el problema. (Probablemente tonta simple, que siempre tiende a ser cuando me quedo demasiado tiempo en un problema).
Pregunta(s): hay más problemas con la prueba a continuación, y como puedo solucionarlo; Y si es así, ¿cómo?
Prueba de intento. Deje $\psi: (a)/(a^2)\to R/(a)$ se define como $\psi(\bar{ar})=r+(a)=\bar{r}$.
A continuación, $\psi$ está bien definido, ya que para algunos $r_1,r_2\in R$
$\overline{ar_1}=\overline{ar_2}\Rightarrow ar_1-ar_2=a(r_1-r_2)\in (a^2)\Rightarrow a(r_1-r_2)=a^2r_3=a(ar_3),$ para algunos $r_3\in R$
$\Rightarrow r_1-r_2=ar_3\Rightarrow r_1-r_2\in (a)\Rightarrow\bar{r_1}=\bar{r_2}\in R/(a)$.
Además, $\psi$ es un anillo homomorphism desde
$\psi(\overline{ar_1}+\overline{ar_2})=\psi(\overline{ar_1+ar_2})=\psi(\overline{a(r_1+r_2)})=\overline{r_1+r_2}=\bar{r_1}+\bar{r_2}=\psi(\overline{ar_1})+\psi(\overline{ar_2})$
$\psi(\overline{ar_1ar_2})=\psi(\overline{a^2r_1r_2)})\not=\bar{r_1}\bar{r_2}=\psi(\overline{ar_1})\psi(\overline{ar_2}) )$ $\rightarrow$ Problema!
De hecho, tan lejos como puedo ver, cualquier producto $\bar{ar_1}\bar{ar_2}$ en $(a)/(a^2)$ es $\bar{0}$.
También, $\psi$ es surjective, ya que para cualquier $\bar{r}\in R/(a)$, no es $\overline{ar}\in (a)/(a^2)$ s.t. $\psi(\overline{ar})=\bar{r}$; Y $\psi$ es inyectiva ya que $\ker \psi = \{ar+(a^2)|r\in(a)\}=(a^2)=\bar{0}.$
Bonusquestion(s): Hacer los ideales generados por uno o más elementos de un anillo de obedecer más a las leyes canónicas como esta, tales como $(a_1,a_2)/(a_1)=(a_2); (a_1,a_2)(b_1,b_2)=(a_1b_1,a_2b_2);$ y así sucesivamente. Podría alguien darme algunos recogidos de las pruebas de tales si algo así existe. Podemos dar esos ideales en un anillo de una estructura de anillo en su propio o algo similar?
ACTUALIZACIÓN: me he dado cuenta de que íbamos a ejecutar en el siguiente problema, si intuitiva mi suposición era correcta:
Por el tercer teorema de isomorfismo tenemos $(R/(a^2))/((a)/(a^2))\cong R/(a) \cong (a)/(a^2)$. Esto significa que tenemos una situación de $A/I=I$. Esto no debe ser trivial posible desde $A$ unital implica $1+I$ es una unidad en $A/I$, mientras que $I$ no contiene unidades si.
