$n|a^n-b^n\Rightarrow n|\frac{a^n-b^n}{a-b}$

Question

Dejemos que $n\in\mathbb{N}$ y $(a,b)\in \mathbb{Z}^2$ . Demuestra que: $$n|a^n-b^n\Longrightarrow n|\frac{a^n-b^n}{a-b}$$

He intentado una inducción, pero me he rendido. ¿Hay una prueba directa?

A los administradores: Por favor, abre este post y espera un día antes de cerrarlo ya que estamos buscando nuevas perspectivas.

Answer 1

Si $n$ es primo, entonces es verdadero. Como $$a^n-b^n ={a^n-b^n\over a-b}\cdot (a-b)$$

$n$ debe dividir uno de ellos. Si divide la fracción hemos terminado. Supongamos que divide $a-b$ entonces

$${a^n-b^n\over a-b} =a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1}\equiv n\cdot a^{n-1} \equiv 0\pmod n$$

y ya hemos terminado de nuevo.