Encuentra la solución general de$4y′′+ 3y′−y=e^{−x}+x$

Question

Dado $$4y′′+ 3y′−y = e^{−x} + x$$

Encontrar la solución general

Me he identificado esto como un no-homogénea de la ecuación lineal así que supuse que mi solución,

$$ y = y_h + y_p$$ $$ 4\lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0$$ $$ \lambda = -1 \quad\text{and}\quad \lambda =1/4$$ $$ y_h = Ae^{x/4} + Be^{-x}$$

Sin embargo, no estoy demasiado seguro de lo que debo hacer para encontrar $y_p$

Sé que mi $G(x) = e^{-x} + x$ , pero no estoy muy seguro de cómo encontrar $y_p$.

Answer 1

Sé que mi $G(x) = \color{blue}{e^{-x}} + \color{purple}{x}$ , pero no estoy muy seguro de cómo encontrar $y_p$

Basado en la forma de $G(x)$ y por la linealidad se propondrá una solución particular de la forma: $$y_p=\color{blue}{Ae^{-x}} + \color{purple}{Bx+C}$$ pero debido a que $\color{blue}{Ae^{-x}}$ ya está contenido en la solución homogénea ($ y_h = Ae^{0.25x} + \color{red}{Be^{-x}}$), que se multiplica por un factor adicional $x$: $$y_p=\color{blue}{A}\color{red}{x}\color{blue}{e^{-x}} + \color{purple}{Bx+C}$$ Ahora sustituye en la ecuación diferencial para obtener un sistema lineal en las incógnitas ("coeficientes indeterminados") $A$, $B$ e $C$.

Answer 2

Mediante el método de coeficientes indeterminados se sigue que $y_p$ tiene la forma $$y_p(x)=xAe^{-x}+Bx+C$$ donde $A,B,C$ son reales constantes, a ser determinado por el taponamiento de $y_p$ en la educación a distancia.

Tenga en cuenta que el factor de $x^1$ que se multiplica $Ae^{-x}$ es debido al hecho de que $\lambda=-1$ tiene multiplicidad $1$ en la ecuación característica (véase el comentario final aquí).

Answer 3

Intentemos $$y_p = Axe^{-x} + Bx + C $ $ en su lugar. Entonces $$y_p' = -Axe^{-x} + Ae^{-x} + B$ $ $$y_p'' = Axe^{-x} -2Ae^{-x} $ $ Así que $$4y′′+ 3y′−y = 4Axe^{-x} -8Ae^{-x} -3Axe^{-x} +3 Ae^{-x} -Axe^{-x} +3B - Bx - C $ $ que es equivalente a $$4y′′+ 3y′−y= \underbrace{-5A}_{1}e^{-x}\underbrace{-B}_1x + \underbrace{(3B-C)}_0 = e^{-x} + x$ $ Por identificación, obtenemos \begin{align} A &= -\frac{1}{5} \\ B &= -1 \\ C &= -3 \end {align} son los valores correspondientes.

Answer 4

INSINUACIÓN

\begin{align*} 4y^{\prime\prime} + 3y^{\prime} - y & = e^{-x} + x \Longleftrightarrow 4(y^{\prime\prime} + y^{\prime}) - (y^{\prime} + y) = e^{-x} + x \Longleftrightarrow\\\\ 4(y^{\prime} + y)^{\prime} - (y^{\prime} + y) & = e^{-x} + x \Longleftrightarrow 4w^{\prime} - w = e^{-x} + x\quad\text{where}\quad w = y^{\prime} + y \end{align*}