¿Cuándo hace$P\text{SO}P^{-1} \subseteq \text{SO}$?

Question

Deje $P \in \text{GL}_n^{+}(\mathbb {R})$. Supongamos que $P\cdot \text{SO}(n)\cdot P^{-1} \subseteq \text{SO}(n)$.

Es cierto que $P \in \lambda \text{SO}(n)$ para algunos $\lambda \in \mathbb{R}$?

Sé que cada matriz que conmuta con $\text{SO}(n)$ debe ser en $\lambda \text{SO}(n)$ (y para $n >2$ debe ser un múltiplo de la identidad), pero esta no es la misma pregunta.

Editar:

En una versión anterior, yo sólo se requiere de $P \in \text{GL}_n(\mathbb {R})$ en lugar de $\text{GL}_n^{+}(\mathbb {R})$. En ese caso, cualquier matriz en $\text{O}(n)$ según los requerimientos, por lo $P$ no es necesariamente un múltiplo de especial ortogonal de la matriz (en dimensiones).

Supongo que es moralmente equivalente pregunta sería asumir sólo $P \in \text{GL}_n(\mathbb {R})$, pero que requieren $P\cdot \text{O}(n)\cdot P^{-1} \subseteq \text{O}(n)$. Entonces, ¿es verdad que $P \in \lambda \text{O}(n)$ para algunos $\lambda \in \mathbb{R}$?

Answer 1

Cambiar su notación ligeramente, supongamos $A \in \operatorname{GL}_n^{+}(\mathbb{R})$ tal que $A \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot A^{-1} \subseteq \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$. Vamos a probar que, de hecho, debemos tener $A = \lambda U$ para $\lambda > 0$ e $U \in \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$. En primer lugar, el uso de descomposición polar, podemos escribir la $A = PU$ donde $U \in \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$ e $P$ es positiva definida. Entonces $$ A \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot A^{-1} = P \cdot U \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot U^{-1} \cdot P^{-1} \subseteq \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}). $$

Desde $Q \mapsto U \cdot Q \cdot U^{-1}$ es un automorphism de $\operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$, obtenemos $$ P \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot P^{-1} \subseteq \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}). $$

Ahora, es suficiente para demostrar que $P = \lambda I$. Desde $P$ es simétrica y positiva, podemos escribir $P = Q^{-1} \Sigma Q$ con $Q \in \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$ e $\Sigma$ diagonal con un resultado positivo de las entradas. Entonces

$$ P \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot P^{-1} = Q^{-1} \cdot \Sigma \cdot Q \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot Q^{-1} \cdot \Sigma^{-1} \cdot Q \subseteq \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}). $$

De nuevo, usando el hecho de que la conjugación es un automorphism, obtenemos

$$ \Sigma \cdot \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}) \cdot \Sigma^{-1} \subseteq \operatorname{SO}_n(\mathbb{R}). $$

Escribir $\Sigma = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$. Asumiendo $n \geq 3$, el grupo de $A_n$ incluso de permutaciones actúa transitivamente sobre $\{ 1, \dots, n \}$ así que para cualquier $1 \leq i < j \leq n$ tiene un especial ortogonal de la matriz de permutación $Q = Q_{i,j} \in \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$ que satisface $Qe_i = e_j$. A continuación, $(\Sigma Q \Sigma^{-1})(e_i) = \frac{\lambda_i}{\lambda_i} e_j$ tiene una norma iff $\lambda_i = \lambda_j$ lo que muestra que todas las entradas de la diagonal $\lambda_i$ debe ser el mismo, por lo $\Sigma = \lambda I$ para $\lambda > 0$. Cuando $n = 2$, usted no puede utilizar una matriz de permutación, pero usted puede elegir en lugar de un no-diagonal de la matriz de rotación

$$ Q = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \in \operatorname{SO}_2(\mathbb{R})$$

con $\sin \theta \neq 0$ y, a continuación, $(\Sigma^{-1} Q \Sigma)(e_1) = \cos^2 \theta \cdot e_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \sin^2 \theta \cdot e_2$ tiene una norma iff $\lambda_1 = \lambda_2$ que conduce a la misma conclusión. El caso restante se $n = 1$ puede ser trivialmente verificado.

El mismo argumento muestra que si $A \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ satisface $A \cdot \operatorname{O}_n(\mathbb{R}) \cdot A^{-1} \subseteq \operatorname{O}_n(\mathbb{R})$ entonces $A = \lambda U$ para $U \in \operatorname{O}_n(\mathbb{R})$ e $\lambda \neq 0$. En este caso, usted ni siquiera necesita para manejar el caso $n = 2$ por separado.

Answer 2

Usted está preguntando acerca de lo que es el normalizador de la $SO(n)$ en el grupo lineal general.

De acuerdo a groupprops, el normalizador de la $O(n)$ en $GL_n(\mathbb R)$ es el ortogonal a semejanza del grupo de $AA^t = \lambda I$ para todos los $\lambda$ distinto de cero. Tales matrices se puede aplicar el zoom a ser en $O(n)$ pero no necesariamente $SO(n)$ si el determinante es negativo.

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AÑADIÓ:

Hay dos pruebas en Normalizadores de la máxima grupos compactos, en mathoverflow.

Traté de llenar en un par de detalles para la primera prueba en el caso de que usted está interesado en:

• Deje $GL_n^+$ actúan en el conjunto de interior de productos en $\mathbb R^n$. $SO(n)$ corrige precisamente los múltiplos escalares de la forma estándar, este conjunto se denota por a$S \cong \mathbb R_+^\times$. (Esto es equivalente a mostrar el centralizador de $SO(n)$ es escalar de matrices, que veo que ya lo hicieron).

• El estabilizador de la $S$ es el normalizador $N$ de $SO$ en $GL^+$, y actúa en $S$. Esto es porque si $x \in SO_n$ e $g \in N$ y consideramos que la forma $(g\_,g\_)$ actuando sobre esto $x$ da $$x(g\_,g\_) = (gx\_,gx\_) = (x'g\_,x'g\_) = g.(x'\_,x'\_) = g.(\_,\_) = (g\_,g\_)$$ So $g.(\_,\_) \S$ if $(\_,\_) \en S$. We don't need the other containment $puñalada(S) \subconjunto de N$.

• Por último, si $A \in GL_n$ estabiliza $S$ entonces $A(\_,\_) = c(\_,\_)$ para algunos $c > 0$, y podemos cambiar la escala a $A' \in S$, lo $$\mathbb R_+^\times SO(n) = stab(S) \supset N$$

La segunda prueba en la que la respuesta se reduce de mostrar el normalizador de la $SO(n)$ en $GL^+(n)$ es $\mathbb R_+^\times SO(n)$ a mostrar $SO(n)$ es auto-normalización en $SL(n)$, que sigue trivialmente de ser un subgrupo maximal en $SL(n)$ (lo cual es demostrado en una hoja de papel).

Answer 3

A medida que formulaste tu pregunta, la respuesta es no. Para $P \in O(n)$ también tenemos $P\cdot A \cdot P^{-1} \in SO(n)$ para todos $A \in SO(n)$ .