Un poco de contexto. Me dio un problema que fue como si $X_n$ se distribuye normalmente con una media de $a_n$ y la convergencia en distribución a $X$, a continuación, $a_n\to a$ para algunos $a\in\mathbb R$ e $X$ se distribuye normalmente. La pregunta es muy factible el uso de funciones características, he imaginado, hasta que acabé con el problema si ambos límites $$\lim_{n\to\infty}\cos(a_nt) \ \ \ \text{ and } \lim_{n\to\infty} \sin(a_nt)$$ para todos los $t\in\mathbb R$ el límite $$\lim_{n\to\infty} a_n$$ existe y es finito. Si asumo $a_n$ es acotado, entonces no tengo ningún problema acreditativa de la declaración. Pero si $a_n$ es ilimitado, entonces no es, sin pérdida de generalidad, una larga $a_{n_k}\to\infty$. Por lo tanto mi pregunta que es un poco general:
Pregunta. Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ser una función continua y $a_n$ ser una secuencia divergentes a $\infty$si $$\lim_{n\to\infty} f(a_nt)$$ existe para todas las $t\in\mathbb R$, tenemos $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe así?
El resultado es bien conocido si $a_n=n$. Si hemos probado esta declaración después de mi reclamación original es fácil de probar. He tratado de imitar la prueba en este post, pero me detuve donde se dice $(f(nmx))_{n\in\mathbb N}$ es una larga de $(f(nx))_{n\in\mathbb N}$ ya que en mi caso particular no tengo $(f(a_na_mx))_{n\in\mathbb N}$ es una larga de $(f(a_nx))_{n\in\mathbb N}$. Sin embargo, en el fondo, creo que hay una posibilidad de que mimicing.
