Si para alguna secuencia$a_n\to \infty$ existe el límite$\lim_{n\to\infty} f(a_nx)$ para todos$x\in\mathbb R$, entonces existe$\lim_{x\to\infty} f(x)$

Question

Un poco de contexto. Me dio un problema que fue como si $X_n$ se distribuye normalmente con una media de $a_n$ y la convergencia en distribución a $X$, a continuación, $a_n\to a$ para algunos $a\in\mathbb R$ e $X$ se distribuye normalmente. La pregunta es muy factible el uso de funciones características, he imaginado, hasta que acabé con el problema si ambos límites $$\lim_{n\to\infty}\cos(a_nt) \ \ \ \text{ and } \lim_{n\to\infty} \sin(a_nt)$$ para todos los $t\in\mathbb R$ el límite $$\lim_{n\to\infty} a_n$$ existe y es finito. Si asumo $a_n$ es acotado, entonces no tengo ningún problema acreditativa de la declaración. Pero si $a_n$ es ilimitado, entonces no es, sin pérdida de generalidad, una larga $a_{n_k}\to\infty$. Por lo tanto mi pregunta que es un poco general:

Pregunta. Deje $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ser una función continua y $a_n$ ser una secuencia divergentes a $\infty$si $$\lim_{n\to\infty} f(a_nt)$$ existe para todas las $t\in\mathbb R$, tenemos $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe así?

El resultado es bien conocido si $a_n=n$. Si hemos probado esta declaración después de mi reclamación original es fácil de probar. He tratado de imitar la prueba en este post, pero me detuve donde se dice $(f(nmx))_{n\in\mathbb N}$ es una larga de $(f(nx))_{n\in\mathbb N}$ ya que en mi caso particular no tengo $(f(a_na_mx))_{n\in\mathbb N}$ es una larga de $(f(a_nx))_{n\in\mathbb N}$. Sin embargo, en el fondo, creo que hay una posibilidad de que mimicing.

Answer 1

Para cada uno de los reales positivos $x$, existe un único entero $r=r(x)$ tal que $1\le2^rx<2$. Deje $f(x)=\sin(2\pi(2^rx-1))$. A continuación, $f$ es continua, $f(x)=f(2x)=f(4x)=\cdots$ para todos los positivos $x$ (por lo $\lim_n f(a_nx)$ existe $a_n=2^{n-1}$, $n=1,2,3,\dots$), pero $\lim_{x\to\infty}f(x)$ no existe.

Answer 2

Deje $g(x)=\begin{cases}2x&0\le x\le\frac12\\ 2(1-x)&\frac12\le x\le 1\\0&\text{otherwise}\end{cases}$, un golpe de altura $1$ apoyado en $[0,1]$.

Para $a_n=2^n$, considere la siguiente función: $$f(x)=g(x-2)+g(x-6)+g(x-14)+\cdots+g(x+2-2^n)+\cdots$$ Para cualquier $x$, a más de un elemento de la secuencia $2^nx$ es en uno de esos intervalos de $(2^k-2,2^k-1)$ donde $f$ es distinto de cero. Como tal, $\lim_{n\to\infty}f(2^n x)=0$ para todos los $x$. Por otro lado, $\lim_{x\to\infty}f(x)$ no existe, ya que hay picos con valor de $1$ no importa cuán lejos podemos ir.

Así que no, el teorema no se extiende a las secuencias arbitrarias.