Billar en una plaza de la ciudad.

Question

Supongamos que usted inicie un punto de billar (o rayo de luz) en una plaza en una ubicación aleatoria, arrancando en un ángulo aleatorio, lo que refleja con un ángulo de incidencia es igual a ángulo de reflexión. En general, debido a que el punto de coordenadas y el vector de dirección son irracionales con una probabilidad de $1$, el camino va a llenar la plaza.

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          ^{A la izquierda: a partir del punto azul, $100$ rebotes; Derecha: $500$rebotes.}

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Ahora supongamos que quitar todos los puntos racionales de la frontera. Si el cuadrado es $[-1,1]^2$, eliminar los puntos de $(\pm 1, r)$ y $(r, \pm 1)$ para cada racional $r \in [-1,1]$. Así que ahora el límite es el infinito (pero contables) número de orificios: hay un agujero en $(\frac{1}{2},1),(\frac{1}{32},1),(\frac{171}{541},1)$, etc.

Q1. Es el caso de que la probabilidad de que el billar / rayo de luz que se escapa a través de una frontera agujero es cero?

Creo que la respuesta es Sí, pero sin duda las cepas de la intuición, así que quiero estar seguro.

Q2. Bajo qué condiciones en la posición inicial y inicial de rayos dirección de la fuga probabilidad de ser positivo, presumiblemente $1$?

Answer 1

Imagine la mesa para que sea el dominio de un entramado en el plano. A continuación, la trayectoria de la pelota puede ser visto como una línea recta en el plano (como podemos identificar todos los dominios).

En esa situación, nos han quitado countably muchos puntos del plano (countably muchos en cada uno de countably muchos segmentos de línea). Así el conjunto de pistas que conecta el punto de partida a uno de los puntos que faltan es contable, por lo que la probabilidad de que un seleccionados al azar ángulo de salida de uno de los pendientes es $0$.