Relación entre los valores propios de matrices conjugadas por un homeomorfismo.

Question

Deje $A, B$ ser $2\times 2 $ matrices de satisfacciones:

1. Los autovalores $\lambda,\mu$ de $A$ satisfacer $|\lambda|<1<|\mu|$.
2. Los autovalores $\lambda',\mu'$ de $B$ satisfacer $|\lambda'|<1<|\mu'|$.
3. Existe una homeomorphism $h:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tal que $$h(A x) = B h(x), \ \forall \ x \in \mathbb{R}^2.$$

Estoy leyendo el artículo "Genérico Singularidades de 3D a Trozos Suave Sistemas Dinámicos", y el autor "un poco, dice" que el que 1) + 2) + 3) implica que $$\frac{\log(\lambda)}{\log(\mu)} =\frac{\log(\lambda')}{\log(\mu')}. $$

Mi pregunta: ¿alguien sabe si 1)+2)+3) $\Rightarrow$ $\frac{\log(\lambda)}{\log(\mu)} =\frac{\log(\lambda')}{\log(\mu')} $?

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Sólo algunos comentarios.

Yo podría ser algo confuso. Sin embargo, mi hipótesis se basa en esta frase

Las referencias que aparecen en la imagen de arriba son:

Por otra parte, en la Proposición 9, el autor usa (en mi opinión) el hecho de existir una conjugación entre dos diffeomorphisms $\phi$ e $\phi_0$, a la conclusión de que la $P(\phi) = P(\phi_0)$ , y luego construir un homeomorphism.

Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Esto no es cierto. Considerar los lineales de los mapas de $A(x,y)=(\frac12x,\,2y),\ B(x,y)=(\frac12x,\,8y)$ y la función de $h(x,y)=(x,y^3)$ definido en $\mathbb R^2$. A continuación, $h$ es un homeomorphism y $$ h(a(x,y))=h\left(\frac12x,\,2y\right)=\left(\frac12x,\,8y^3\right) =B(x,\,y^3)=B(h(x,y)), $$ pero $$ \frac{\log(\lambda)}{\log(\mu)}=\frac{\log(\frac12)}{\log(2)} \ne\frac{\log(\frac12)}{\log(8)}=\frac{\log(\lambda')}{\log(\mu)}. $$