Juego de borel aproximado por juego compacto.

Question

He probado lo siguiente:

Deje $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ ser un espacio de probabilidad y $\mathcal{A}$ un álgebra que $\sigma(\mathcal{A})=\mathcal{F}$. A continuación, para cada $\varepsilon>0$ e $B\in\mathcal{F}$ tenemos que hay un conjunto $A\in\mathcal{A}$ tal que $\mathbb{P}(A\Delta B)\leq \varepsilon$. (aquí se $\Delta$ es la diferencia simétrica)

Quiero mostrar:

Deje $\mathbb{P}$ ser una medida de probabilidad en $(\mathbb{R}^{n},\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$, donde $\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ es el Borel álgebra de subconjuntos de a$\mathbb{R}^{n}$. Mediante el anterior hecho, muestran que para cualquier $\varepsilon>0$ e $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$, que es un conjunto compacto $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$ tal que $A\subseteq B$ e $\mathbb{P}(B\setminus A) \leq \varepsilon$.

Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencias: considere la posibilidad de $\{A\in \mathcal B(\mathbb R^{n}): \text {for every} \epsilon >0 \, \text {there exists a closed set}\, C \subset A \, \text {and an open set} \, U \text {with} \,A\subset U \, \text {with} \, P(U\Delta C) <\epsilon\}$

Compruebe que este es un sigma álgebra que contiene todos los conjuntos cerrados. [Necesitará el hecho de que cualquier cerrada es una intersección de una decreciendo secuencia de abrir establece que la contengan]. A la conclusión de que, o cualquier conjunto de Borel $A$ y cualquier $\epsilon >0$ existe un conjunto cerrado $C\subset A$ tal que $P(A\Delta C) <\epsilon\}$. Ahora uso el hecho de que $C=\cup_n (C\cap \{x:\|x\|\leq n\}$ e $C\cap \{x:\|x\|\leq n\}$ es compacto para cada una de las $n$.