Permítanme replicar YCor comentario en el enlace que se da en los comentarios, con más detalles :
en un producto libre de $C\ast D$ con $C,D$ no trivial, la intersección de dos cualesquiera no trivial normal subgrupos es trivial.
De hecho, vamos a $H,K$ dos trivial normal subgrupos de $C*D$. Voy a asumir, por simplicidad, que los $|C|,|D|$ son suficientemente grande de manera que para cada una de las $x,y$ hay un trivial $z$ con $z^{-1}\neq x, z\neq y$. Por ejemplo, $|C|, |D|\geq 4$ es lo suficientemente bueno (tome $x,y$, luego están en la mayoría de los dos no trivial $z$ tal que $z=x$ o $z^{-1}=y$ : $x$ e $y^{-1}$; por lo que si $|G|\geq 4$, cualquier elemento no trivial diferente de $x$ e $y^{-1}$ obras)
Permítanme decir que el $c_1d_1\dots c_nd_n$ es la forma reducida de un elemento de $C*D$ si $c_i\in C, d_j\in D$, y sólo el $c_i,d_j$ permitido ser $1$ se $c_1$ e $d_n$. Claramente, si $x=c_1d_1\dots c_nd_n$ es la forma reducida de $x$, e $n\geq 2$, a continuación, $x\neq 1$ en $C*D$ ("claramente" aquí se entiende : es un clásico de la propiedad de los productos libres), por otra parte, si $n=1$ esto es $1$ si y sólo si $c_1=d_1=1$.
Ahora vamos a $x= c_1d_1\dots c_rd_r \in H, y=c'_1d'_1\dots c'_sd'_s \in K$ ser trivial elementos, con el obvio anotaciones, escritas en forma reducida. El punto será que $[x,y]\in H\cap K$ (esto es obvio por la normalidad), y que, a cambio de $x,y$ un poco, esto no puede ser el elemento trivial.
Ahora hasta conjugación por algún elemento de $C$, uno puede asumir $d_r = 1$ e $c_1\neq 1$ (esto se puede hacer por la hipótesis de $|C|$ - e $c_r \neq 1$, pero que se desprende de la forma reducida); y hasta la conjugación por algún elemento de $D$, $c'_1 = 1$ , $d_s'\neq 1$ (el uso de la cardinalidad hipótesis en $D$ - e $d_1' \neq 1$, pero de nuevo esto se deduce de la forma reducida).
Así que con estas hipótesis $$[x,y] = \color{red}{c_1d_1\dots c_r}\color{blue}{d_1'\dots c_s'd_s'}\color{red}{c_r^{-1}\dots d_1^{-1}c_1^{-1}}\color{blue}{d_s'^{-1}c_s'^{-1}\dots d_1'^{-1}},$$ which is written in reduced form, and is thus $\neq 1$. Therefore $[x,y]\H\cap K\setminus\{1\}$.
Aplicar esto a lo que supuestamente $A\times \{1\}, \{1\}\times B$ para obtener una contradicción.
No sé si hay una manera más fácil argumento, o un no muy complicado argumento de que encapsula la baja cardinalidad de los casos, pero supongo que para estos se tienen que ir "a mano" de alguna manera; o tal vez usted puede adaptar este argumento para estos casos por trabajar un poco más. En cualquier caso, yo no quería molestar con estos casos, y este argumento funciona en la mayoría de los casos y es bastante sencillo por lo que en cualquier caso es interesante para compartir
