Determine la cantidad de funciones suprayectivas$f$ de$A$ a$B$, de manera que$f(a_1)≤f(a_2)≤...≤f(a_{100})$.

Question

Deje $A = \{a_1,a_2,...,a_{100}\}$ e $B= \{1,2,...,50\}$. Determinar el número de surjective funciones de f entre a y B tal que $f(a_1)≤f(a_2)≤...≤f(a_{100})$. Lo que si $f$ no necesita ser surjective?

Mi planteamiento:

1. Número de Surjective funciones: Primera $f(a_1)=1$ (de lo contrario f no es surjective). De $a_2,..., a_{100}$, elija cualquiera 49. El fin de ellos basados en orden creciente de índice y asignar valores de 2 a de 50 a de la $a_i$'s basado en su orden.
   Por ejemplo, si yo elegí $a_2, a_5, a_{10},..a_{96}$ (49 algunos elementos de $A$) luego,

   • $f(a_2)$ es el primer elemento que es igual a 2 (primero basado en el pedido)
   • $f(a_5)$ es el primer elemento que es igual a 3...
   • $f(a_{96})$ es el primer elemento que es igual a 50
   • El restante 50 elementos son fijos. Respuesta: $_{99}C_{49}$.

2. El problema puede ser reestructurada como el bloque de caminar problema así que la respuesta es $_{149}C_{49}$.

Answer 1

Deje $k_i= |f^{-1}(i)|$, entonces a partir de la $f$ es surjective tenemos $k_i\geq 1$.

Así que estamos interesados en el número de soluciones de la ecuación $$k_1+k_2+...+k_{50}= 100\;\;\; (*)$$ Put $n_i= k_i-1\geq 0$ and count the solution of $$n_1+n_2+...+n_{50}= 50$$

Esto nos usualy hacer con las estrellas y las barras, y una solución es $${99\choose 50}$$

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Si $f$ no es surjective, a continuación, algunos de los $k_i$ puede $0$ y nosotros simplemente solucionar $(*)$, así que $${149\choose 50}$$ tales funciones.

Así que, no puedo estar en desacuerdo con sus soluciones.