Estoy tratando de envolver mi cabeza alrededor de esta prueba en el dibujo que hicimos en clase:
Prueba: Finito de las estructuras no son de primer orden definibles
Supongamos que el conjunto $\Gamma$ de primer orden de las frases define el conjunto finito de estructuras. Deje $\Sigma$ ser el conjunto de oraciones que define el conjunto de infinitas estructuras de$~^{[1]}$. A continuación, cada subconjunto finito de $\Gamma \cup \Sigma$ es válido. Por lo tanto, por la compacidad: $\Gamma \cup \Sigma$ es válido. El testimonio de la estructura debe satisfacer $\Gamma$ y por lo tanto es finito, pero de un número finito de estructura no puede satisfacer $\Sigma$ así hemos obtenido una contradicción.
$~^{[1]}$ Esto se estableció anteriormente en la conferencia. $\Sigma$ se define como $ \Sigma = \bigcup_{n \in \mathcal N} \exists^{\geq n}$, donde $\exists ^{\geq n}$ se define como $\exists x_1 \ldots x_n \bigwedge_{i \not= j} \neg (x_i = x_j)$
La parte que está claro para mí está marcado en negrita. Cómo puedo probar este resultado?
Mi opinión es:
$\Sigma$ es válido por cualquier infinita de la estructura. Es fácil ver que todos los subconjuntos de a$\Sigma$, por ejemplo, $\{\exists^{\geq 10}\}$, son conste que por cualquier infinita de la estructura.
$\Gamma$ es válido, por supuesto. Por el teorema de compacidad, cada subconjunto finito de $\Gamma$ es válido también.
Ya que cada subconjunto de $\Sigma$ es válido y cada subconjunto de $\Gamma$ es válido, cualquier unión de los subconjuntos es válido también.
Estoy bastante contento con los dos primeros puntos. Pero la última parece incorrecto para mí. Alguna sugerencia mejor? :)
