Por la prueba de la razón, esta serie converge. El problema es averiguar qué técnica utilizar para calcular su suma.
Gracias por cualquier ayuda.
Quién es $\Gamma_q(z)$ ?
Respuesta
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Alex Taylor
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Se puede expresar la suma en términos de $q$ -función digamma $\psi_q(z)$ . Sin embargo, esto no es una simplificación profunda, porque $\psi_q(z)$ se define como una suma de forma similar: $$ \psi_q(z) = \frac{\partial \log \Gamma_q(z)}{\partial z} = -\log(1-q) + \log(q) \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+z}}{1-q^{n+z}}. $$ Pero, por si sirve de algo, $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n-2^n} = \frac{\log3-\psi_{2/3}(\log_{3/2}3)}{\log(3/2)}. $$
$\Gamma_q(z)$ es el $q$ -función gamma. Hay muchas funciones que tienen " $q$ -analógicos", e incluí la referencia a $\Gamma_q(z)$ para destacar que la definición de $\psi_q(z)$ no es algo extraño y arbitrario, sino el derivado de $\log \Gamma_q(z)$ por analogía con la definición de la función digamma estándar.
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Dudo que esta serie tenga una forma cerrada.
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Buena pregunta. No sé si hay una manera. No había pensado en ello.
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La prueba de la razón es mi prueba de convergencia favorita.
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@AntonioVargas, supongo que el OP quiere decir "prueba de proporción". La palabra "racional" tiene dos significados muy diferentes y esto probablemente llevó a una mala traducción.
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Wolfram alpha dice que el límite de la suma es $1,27498$ : wolframalpha.com/input/