Considere la posibilidad de una matriz de $A \in Mat_{n \times n}(\{0,1\})$. Ahora queremos calcular la cantidad de 2-líneas de ceros en la matriz, es decir, considerar la posibilidad de una matriz de $A : $
\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 & \dots & 1\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ 1& 1 & 1 & \dots & 1\\ \dots & \dots & \dots &\dots &\dots \end{pmatrix}
Esta matriz tiene dos líneas consecutivas que contienen ceros.
Tenemos que encontrar el número de la matriz de $Mat_{n \times n}(\{0,1\})$ que contiene dicho inmueble.
También debo mencionar que este matrices se apropia de :
$\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 & \dots & 1\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ \dots & \dots & \dots &\dots &\dots \end{pmatrix}$ ,$\begin{pmatrix} 1& 1 & 0 & \dots & 1\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ 0 & 0 & 0 &\dots & 0\\ 1 & 1 & 0 &\dots & 1\\ \dots & \dots & \dots &\dots &\dots \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 1& \dots & 1\\ 1 & 0 & 0 &1 &\dots & 1\\ 1 & 0 & 0 &1&\dots & 1\\ 1 & 0 & 0 &1 &\dots & 1\\ \dots & \dots &\dots& \dots &\dots &\dots \end{pmatrix}$,
Así que no importa donde debe ser el de 2 líneas de ceros en fila o en columna, o no importa es de 3 líneas de la propiedad principal que debe haber al menos un 2-ceros de la línea.
He tratado de calcular por paso, es decir :
$\displaystyle \sum_{k=2n}^{4n-5}2(n-1)\binom{n^{2}}{k-2n} + \sum_{k=4n-4}^{...}\binom{n^{2}}{k-2n}-\dots$ este dotes surgir a partir de la repetición de combinación. Este es el problema que me he pegado. Alguna idea ?
Editar: Todos ellos son válidos y matrices para la $n = 3$
$\begin{pmatrix} 1& 1 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 1 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 \\ 0& 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 0& 0 & 0 \\ 1& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ . I guess that's all for $n =3$.
