Problema de cumpleaños sin usar complemento

Question

Yo tengo una solución para el problema del cumpleaños sin el uso de complementos que es llegar a la respuesta equivocada. Me gustaría entender lo que estoy haciendo mal. Yo no estoy en busca de soluciones alternativas para el problema.

Problema

Suponiendo que no son sólo los 365 días ignorar (año bisiesto), y cada día es igual de probable que sea un cumpleaños, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 personas tienen el mismo cumpleaños en una habitación de N personas?

Espacio Muestral: $365^N$

Espacio Para Eventos

• ${N\choose 2 }$ emparejamientos para las personas con el mismo cumpleaños
• para cada par, $365$ cumpleaños posibles
• para el resto de $N-2$ gente, $365^{(N-2)}$ permutaciones que básicamente podemos ignorar (pero todavía deben ser contados, ya que son parte del espacio de eventos)

Así que yo esperaría que la respuesta sea:

$$\frac{{N\choose 2 } * 365 * 365^{(N-2)}}{365^N} = \frac{{N\choose 2 }}{365}$$

Con $N=23$, tengo 69% de probabilidad de $2$ de personas con el mismo cumpleaños, pero la respuesta correcta es de ~50%. Así que de dónde soy más de conteo?

Answer 1

Si tenemos 4 personas

Podríamos tener 4 diferentes cumpleaños. $\frac {365!}{(365-4)!} \frac {1}{365^4}$

1 par de cumpleaños de los gemelos. $\frac {365!}{(365-3)!} {4\choose 2}\frac {1}{365^4}$

2 pares de cumpleaños de los gemelos. $\frac {365!}{(365-2)!} {4\choose 2,2}\frac {1}{365^4}$

1 conjunto de cumpleaños de los trillizos . $\frac {365!}{(365-2)!} {4\choose 3}\frac {1}{365^4}$

Todos los 4 en el mismo día: $\frac {365!}{(365)!} {4\choose 4}\frac {1}{365^4}$

Algunos pares de la misma cumpleaños...

$\frac {6}{365} - \frac {11}{365^2} + \frac {6}{365^3}$

Que es menos de $\frac {{4\choose 2}}{365}$