Análisis real para un no-matemático.

Question

Actualmente estoy en un programa de ingeniería, por lo que la mayor parte de mi educación matemática ha sido de naturaleza aplicada (cálculo multivariable, EDO, EDP, probabilidad). Los únicos cursos realmente basados en la "teoría" que he tomado han sido de álgebra abstracta $^1$ y una clase de ecuaciones diferenciales basada en pruebas.

Estoy buscando ampliar mis horizontes matemáticos antes de la escuela de posgrado, y pensé que los dos lugares que podrían ser interesantes para mí (¡además de útiles!) son el análisis real y la geometría diferencial. Realmente no tengo espacio en mi horario de cursos para tomar cualquiera de estos, y el primero está listado como un prerrequisito para el segundo en mi universidad.

Sé que Rudin's Principios del análisis matemático es la crème de la crème de los textos de análisis real, pero he empezado a leer un pdf del mismo y no sólo es extremadamente denso (a lo que no estoy muy acostumbrado), sino que además no creo que tenga la madurez matemática para entenderlo.

Me preguntaba si alguien sabe de algún buen texto donde pueda aprender análisis real sin presuponer una gran madurez matemática. Mis bases de cálculo son bastante sólidas, pero mi conocimiento es que el análisis real está sólo tangencialmente relacionado. Como pregunta al margen, también quiero preguntar si el análisis real es realmente un requisito previo para la geometría diferencial (soy escéptico).

$^1$ Cubrimos lo que normalmente se encuentra en una clase de álgebra de pregrado y también tocamos un poco de la teoría de Galois, pero para ser completamente honesto, no me sentí muy cómodo con las pocas clases de teoría de Galois que tuvimos, de todos modos.

Answer 1

Un libro de texto de cálculo riguroso probablemente le ayudaría a "entrar" en Rudin. Un ejemplo es Lang. Spivak también es muy apreciado, y está el de Hardy Curso de matemáticas puras cuyas tres primeras ediciones son gratuitas y tienen muchos ejercicios divertidos. Sin embargo, Rudin tiene cosas que no están en Lang o Hardy (o supongo que Spivak) en los capítulos 9, 10 y 11.

En cuanto a si el análisis real es un prerrequisito para la geometría diferencial, me temo que es necesario dominar el tema del capítulo 9 de Rudin (derivadas multidimensionales, funciones inversas, funciones implícitas) para que los textos modernos de geometría diferencial tengan sentido para ti (por ejemplo, Lee's Colectores lisos ). Una alternativa podría ser un estilo de aprendizaje en el que haya un curso separado sobre las variedades de 2 y 3 dimensiones primero; para esto un texto común es el de Manfredo do Carmo Geometría diferencial de curvas y superficies .

Independientemente de todo lo anterior, para el aprendizaje de las matemáticas es necesario (i) aprender el estilo de prueba de teoremas y (ii) trabajar los ejercicios, escribiendo las pruebas en estilo matemático "riguroso".

Answer 2

Teniendo en cuenta lo que has dicho, para un análisis real te recomiendo que mires estos tres:

Otra introducción al análisis por Victor Bryant

El libro de Bryant es excelente para leer sin instructor. Todos los ejercicios tienen soluciones. El libro está lleno de imágenes, diagramas y otras ayudas pedagógicas. El libro es excelente como secuela directa de la secuencia de cálculo estándar y está cuidadosamente escrito con esto en mente.

Cálculo Real Avanzado por Kenneth S. Miller

El libro de Miller destaca por su estilo directo y sin complicaciones. Miller, también autor de Ingeniería Matemática (que posteriormente fue reimpreso por Dover publications), se licenció en ingeniería química antes de obtener un máster y un doctorado en matemáticas. Debido a su experiencia (Miller también enseñó a los ingenieros durante muchos años y ha trabajado tanto en el gobierno como en la industria como matemático aplicado), el libro de Miller es definitivamente digno de consideración. Como matemático no es un "Rudin", pero por lo que vale hizo un postdoctorado en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.

Esquema de Schaum de la teoría y los problemas de las variables reales por Murray R. Spiegel

Aunque el libro de Spiegel se adentra en la integración de Lebesgue (pero sólo para los reales), gran parte de él debería ser accesible para ti, especialmente para la lectura complementaria y para los problemas trabajados. Spiegel, al que quizá reconozca por ser estudiante de ingeniería, es el autor de muchos libros de Schaum's Outline sobre temas de matemáticas de ingeniería (variables complejas, transformada de Laplace, análisis vectorial, mecánica teórica, ecuaciones en diferencia, etc.), y su libro sobre variables reales lo refleja al incluir un capítulo sobre las series de Fourier.

No creo que la geometría diferencial sea una buena opción para "ampliar tus horizontes", pero si realmente quieres hacer esto, creo que Elementos de geometría diferencial de Richard S. Millman y George D. Parker sería una opción mucho mejor que la de Manfredo do Carmo Geometría diferencial de curvas y superficies que alguien más mencionó. Para su información, he tomado un curso que utilizó el libro de Carmo y he auditado un curso que utilizó el libro de Millman/Parker.

En cuanto a la matemática abstracta, tal vez quiera consultar la obra en dos volúmenes de Paul Roman Algunas matemáticas modernas para físicos y otros forasteros Contenido del volumen 1 . A pesar de la amplia selección de temas avanzados que cubren, estos libros hacen un buen trabajo para hacer las cosas accesibles a alguien que no está empapado en las matemáticas al estilo Bourbaki.

(AÑADIDO 4 DÍAS DESPUÉS) La mañana después de escribir los comentarios anteriores, miré mi copia de Esquema de Schaum de la teoría y los problemas de las variables reales y me di cuenta de que cometí un error al recomendarlo. Pensaba que la mayor parte del libro trataba temas anteriores a la integración de Lebesgue, y que la integración de Lebesgue sólo se introducía en las últimas partes del libro. De hecho, el libro comienza con la medida de Lebesgue y la integración, por lo que no sería apropiado para alguien que no haya estudiado análisis real de grado o cálculo avanzado. Aparte del desajuste con sus necesidades, el libro está bien.

Como era el fin de semana, y estaba enfermo y no podía hacer mucho más de todos modos, decidí revisar cuidadosamente los libros de análisis real que tengo (más de 100 textos a nivel de pregrado medio, pregrado avanzado y postgrado principiante) y ver qué podía encontrar que valiera la pena sugerir además de los que he mencionado.

Al hacer esto, sólo consideré textos relativamente cortos que pudieran cubrirse en un semestre, porque cuando se estudian por cuenta propia textos largos es muy fácil sentirse abrumado y luego procrastinar y no lograr mucho. En su mayor parte, también consideré sólo textos que no fueran especialmente abstractos o formales, de modo que, por ejemplo, si los espacios métricos aparecían, desempeñaban un papel muy secundario en general, y las formalidades como la teoría axiomática de conjuntos y los axiomas de Peano no se inmiscuían en el material introductorio. Por último, busqué libros que parecieran tener temas o énfasis que pudieran ser útiles para la ingeniería, como las series de Fourier.

He encontrado otros dos libros que se ajustan a estas condiciones, uno de Labarre y otro de Randol. Mi favorito personal por lo que creo que le funcionaría mejor es el libro de Randol, y esto incluye los libros que ya he mencionado.

Como es difícil encontrar algo específico sobre textos antiguos en Internet (nadie parece tomarse la molestia), he escrito algunos comentarios sobre cada libro. También he incluido algo más de información sobre el libro de Kenneth S. Miller, por la misma razón.

Anthony Edward Labarre, Análisis matemático intermedio Holt, Rinehart and Winston, 1968, xvi + 253 páginas.

Un tratamiento muy agradable con una cobertura de temas superior a la media (para libros de un semestre de duración) -- campos completos ordenados, números cardinales, equivalencia de las nociones de límite secuencial y de vecindad, estructura de los conjuntos abiertos en los reales, continuidad uniforme, las derivadas tienen la propiedad de Darboux, mapeos de contracción, la caracterización de la medida cero de la integrabilidad de Riemann, convergencia uniforme de las secuencias de funciones, teorema de Picard sobre la existencia de una solución única para $\frac{dy}{dx} = f(x,y)$ y $y(x_0) = y_0$ donde $f$ es continua y Lipschitz con respecto a $y$ en algún rectángulo que contenga $(x_{0},y_{0})$ en su interior [demostrado mediante mapeos de contracción], capítulo final (pp. 202-237) sobre las series de Fourier que incluye discusiones sobre el Problema de Dirichlet y el Teorema de Fejér. Principal debilidad: Hay muy poco material sobre la convergencia y divergencia de series infinitas de números reales, y casi no hay material sobre series de potencias.

Burton Swank Randol, Introducción al análisis real , Harbrace College Mathematics Series, Harcourt, Brace and World, 1969, xii + 112 páginas.

El libro de Randol parece centrarse principalmente en la convergencia y divergencia de series de funciones. Así, hay poco sobre los reales como campo completo ordenado, poco sobre la estructura de los conjuntos abiertos de reales, poco sobre la propiedad de Darboux de las derivadas, etc. Por otro lado, Randol incluye temas como: El teorema de Cauchy sobre la convergencia absoluta de las series dobles, todo el capítulo 3 (de 6 capítulos) está dedicado a las series de potencias (incluyendo una discusión de la expansión en serie de potencias de $f(g(x))$ en términos de las expansiones en serie de potencia de $f(x)$ y $g(x),$ y una sección dedicada enteramente a la existencia de un $C^{\infty}$ función que no es real-analítica en $x=0),$ todo el capítulo 4 está dedicado al teorema de aproximación de Weierstrass para funciones continuas por polinomios (se da como aplicación el teorema tauberiano de Karamata), todo el capítulo 5 está dedicado a las series de Fourier (una sección final demuestra como aplicación que para cualquier número irracional $\alpha,$ la secuencia $\alpha,$ $2\alpha,$ $3\alpha,$ $\ldots$ está equidistribuido $\mod 1).$ El último capítulo está dedicado a una breve introducción a la integral de Lebesgue.

Kenneth Sielke Miller, Cálculo Real Avanzado , Harper's Mathematics Series, Harper and Brothers, 1957, x + 185 páginas.

Contenido: 1. Números y convergencia (pp. 1-19). 2. Preliminares topológicos (pp. 20-25). 3. Límites, continuidad y diferenciabilidad (pp. 26-47). 4. La integral de Riemann (pp. 48-84). 5. Secuencias y series (pp. 85-122). 6. Funciones de varias variables reales (pp. 123-139). 7. Integrales de funciones de varias variables (págs. 140-165). Referencias (pág. 166). Apéndice. Soluciones a algunos ejercicios (pp. 167-182). Índice (pp. 183-185). Principal debilidad: Hay muy poco material topológico en el libro, que se ha sacrificado por el amplio tratamiento del libro de los argumentos épsilon-delta. Del prefacio: Hemos intentado presentar el tema de las variables reales a un nivel matemático riguroso y lógicamente completo y, al mismo tiempo, no hacer el tomo tan pesado que el estudiante principiante quede enterrado bajo una masa de notaciones, definiciones y material periférico. $[\ldots]$ Teniendo en cuenta la clase de lectores a la que va dirigido el texto, la mayoría de las pruebas se realizan con minucioso detalle: no hay ningún épsilon o delta que pase desapercibido. Nota: En una curiosa terminología anticuada (incluso para 1957, al menos en los textos de matemáticas, aunque quizás no en los de física o ingeniería de esta época), Miller habla de funciones de un solo valor en la p. 26, diciendo que sólo se considerarán funciones de un solo valor en el texto, y da $f(x) = \sqrt {x}$ como ejemplo de una función que no es monovalente. Esto es tanto más curioso cuanto que en la página siguiente (p. 27), al demostrar por métodos épsilon-delta que $f(x) = x^2$ es continua en todas partes, Miller escribe "Dejemos que $\delta = \min \left( \sqrt{\frac{\epsilon}{2}}, \, \frac{\epsilon}{8} \right),$ entonces $[\ldots],$ " y en este uso está obviamente utilizando el símbolo $\sqrt{\,}$ en su sentido actual de valor único.

Answer 3

Comprueba Comprender el análisis por Abbott. El título lo dice todo.

Ejem... He oído que si vas a un determinado sitio web para buscar el manual de soluciones del instructor para este libro, puedes encontrar una versión en .pdf que alguien dejó accidentalmente por ahí para que cualquiera la encontrara. Tengo entendido que contiene una copia completa del texto, seguida de las soluciones completas - muy útil para el auto-estudio.

Answer 4

El análisis real es difícil de estudiar por sí mismo. Gran parte del curso consiste en aprender a leer y escribir pruebas, y si no lo has hecho te encuentras con el problema de "no sé por dónde empezar". Y no hay nadie que te diga si has cometido un error lógico en tu demostración cuando hayas terminado.

De todos modos, si vas a auto-estudiar el análisis real me quedaría con Rudin, y añadiría la serie de conferencias de Fracis Su en You Tube.

Answer 5

No tengo una copia para comprobarlo ahora mismo, pero recuerdo que me encantaba el libro de Ralph Boas "A primer of real functions" cuando empezaba a aprender este tipo de cosas. Es bastante informal y tiene una mayor proporción de cosas interesantes: deltas y epsilones que la mayoría de los libros de análisis real. Dado que me baso en una memoria de hace décadas, no te sugeriría que salieras a comprarlo por recomendación mía, pero si lo encuentras en una biblioteca (o a la venta a buen precio), échale un vistazo y comprueba si te resulta atractivo.