En un sentido general, la respuesta es no: ciertamente no consigue nada nuevo en el nivel de absoluta convergencia, y tenemos poco concretas nueva, incluso cuando nos fijamos en los ordinales-longitud de sumas.
En primer lugar, echemos un vistazo a la situación en la que todos los reales estamos sumando son no negativos (para la convergencia y la convergencia absoluta coinciden, y que no tiene que preocuparse por el orden en la configuración usual). Si $(a_i)_{i\in I}$ es de la familia de los reales no negativos y $I$ es incontable, uno de los siguientes debe ocurrir: o bien todos pero countably muchos $a_i$s son cero, o hay algo de $\epsilon>0$ tal que $$\{i: a_i>\epsilon\}$$ es incontable.
- Por qué? Así, para cada uno positivo racional $q$, vamos a $X_q=\{i: a_i>q\}$. Entonces tenemos que $$I=[\bigcup_{q\in\mathbb{Q}_{>0}} X_q]\cup\{i: a_i=0\}.$$ This expresses the uncountable set $I$ as a union of countably many sets (since there are only countably many positive rationals), and so one of those sets must be uncountable; if it's $\{i:a_i=0\}$ then we're in the first case, and if it's one of the $X_q$ then just take $\epsilon$ to be such a $p$.
Ahora es fácil argumentar que - si cada una de las $a_i$s es no negativa - necesitamos establecer $\sum_{i\in I}a_i=+\infty$ (o "diverge" si se prefiere) a menos que todos, pero countably muchas de las $a_i$s son cero: si una cantidad no numerable de las $a_i$s son cero, entonces tenemos infinidad de $a_i$s que están por encima de algunos fijos reales positivos, y que se extiende hacia el infinito.
Así que cuando todo tiene el mismo signo, incontables cantidades de reducir a la clásica contables sumas. ¿Qué pasa cuando diferentes signos están permitidas?
La definición habitual de la suma de más de un índice arbitrarios mira el conjunto de todos finito de sumas parciales. Sin embargo, esto no toma en cuenta el orden, y así nos da la respuesta "no definido" (la desordenada versiones de) las sumas que converge condicionalmente. Podríamos esperar razonablemente que podríamos poner orden en la situación de alguna manera a obtener una imagen interesante.
Un candidato natural para esto es el uso arbitrario de los números ordinales (este bit rápidamente se pone técnica; espero que me he hecho algo comprensible). Podemos definir (en el sentido de "dar valores a o a 'undefined'") "es la suma de la longitud de la $\gamma$" por un arbitrario ordinal $\gamma$ por la recursividad en $\gamma$:
La Base de la cláusula: el vacío de La suma es cero.
Sucesor cláusula: Si $(a_\eta)_{\eta<\theta+1}$ es $(\theta+1)$-longitud de la secuencia de reales y que ya hemos analizado todos los $\theta$-longitud sumas, entonces $$\sum_{\eta<\theta+1}a_\eta=(\sum_{\eta<\theta}a_\eta)+a_{\theta}$$ if $\sum_{\eta<\theta}a_\eta$ existe, y no está definido de otra manera.
Cláusula Limit: Si $\lambda$ es un ordinal límite, $(a_\eta)_{\eta<\lambda}$ es $\lambda$-longitud de la secuencia de reales, y que ya hemos analizado cada $\theta$-longitud de la suma de todos los $\theta<\lambda$, establecemos $\sum_{\eta<\lambda}a_\eta$ a $L$ si $(i)$ para todos lo suficientemente grande $\theta<\lambda$ suma $\sum_{\eta<\theta}a_\eta$ se define y $(ii)$ el límite de los valores de las sumas parciales $\sum_{\eta<\theta}a_\eta$ para $\theta<\lambda$ existe y es igual a $L$ (esto puede ser definido con precisión a través de la topología; estoy ignorando que el problema por ahora), y no definidos de otra manera.
Esto se ve atractivo para un poco, y no es completamente trivial. Sin embargo, todavía no es realmente tan diferente de la habitual $\mathbb{N}$-longitud de la suma. Por ejemplo, los resultados generales de descriptivo de la teoría de conjuntos indican que - mirando el menos incontables ordinal $\omega_1$ - si $(a_\eta)_{\eta<\omega_1}$ es un "razonablemente" definibles por el $\omega_1$-secuencia de reales y $\sum_{\eta<\omega_1}a_\eta$ como se definió anteriormente existe, entonces, de hecho, es igual a los valores de la "mayoría" de las sumas parciales (en concreto: hay un club de $\theta$ en que $\sum_{\eta<\theta}a_\eta$ está definido y es igual a $\sum_{\eta<\omega_1}a_\eta$). Todo esto es un poco avanzado, pero el punto es que no estamos recibiendo una gran cantidad de nuevas comportamiento en casos concretos. Esto explica por qué, incluso por encima de la noción, que evita la habitual nimiedades, no realmente.
