Matemáticas que apoyan la explicación clásica de por qué la velocidad de fase de la luz se ralentiza en un medio

Question

Considerar la respuesta aquí por Chad Orzel que explica cómo una luz monocromática puede ralentizar en un medio. Él explica,

Usted puede pensar en cada uno de los átomos (del medio) es como un pequeño dipolo, que consta de algunas positivas y otras negativas, cargo que es impulsado hacia atrás y adelante por la resonancia fuera de campo de luz. Siendo un conjunto de cargos que se está acelerando debido a la campo de la conducción, estos dipolos se irradian, la producción de ondas de la misma frecuencia, como el campo de la conducción, pero ligeramente fuera de fase con ella...

Entonces él dice,

Si usted va a través de un poco de matemáticas, encontrará que esto le da un rayo en la misma dirección que el original rayo-- el ondas a los lados en su mayoría van a interferir destructivamente unos con los otros, con la misma frecuencia, pero con un poco de retraso en comparación con el campo de la conducción.

Así que el resultado de esta respuesta es que la velocidad de fase$^1$ en el mediano $v_p$ hace menos de $c$. La misma explicación se puede encontrar aquí con la excusa de que la matemática subyacente es un desastre.

Puede alguien dar el apoyo a las matemáticas? ¿Cómo funciona una superposición f las diferentes ondas con la misma frecuencia, pero ligeramente fuera de fase, dar lugar a una ola con un cambio de la velocidad de fase?

---

$^1$ Tenga en cuenta que, cuando una onda viaja a través de un medio, no es sólo una frecuencia que no cambia durante la propagación en el medio. Por lo tanto, no es cuestión de dispersión o grupo de velocidad.

Answer 1

El punto clave es que la suma de dos ondas de diferente amplitud y fase, pero la misma frecuencia le da una onda de frecuencia. Esto se muestra en la imagen donde la curva negra es $\sin(x)$, la curva roja es $-.2 \sin(x+5)$ y la curva azul es la suma de los dos. De la misma frecuencia, siendo una onda sinusoidal, pero diferente fase.

Supongamos que existe un campo eléctrico $E=Ae^{i( \omega t-kx)}$. Se encuentra en una molécula de (digamos) $x=0$. Este es polarizada por el campo y oscila y produce un campo $Ere^{i \delta}$, donde $r$ (que es pequeño) depende de la polarisability de la molécula y el cambio de fase $\delta$ varía de acuerdo a la diferencia entre la aplica $\omega$ y la frecuencia de resonancia natural de la molécula. Por lo que el combinado de campo es

$Ae^{i \omega t }(1+re^{i \delta})$

El soporte puede ser escrito $(1 + r \cos\delta + i r \sin \delta)=Re^{i \phi}$

donde $\tan \phi={r \sin \delta \over 1 + r \cos \delta}$ e $R^2=1+r^2+2 r \cos \delta$

Así que el efecto de la polarisable molécula es sólo a cambio de la fase por un pequeño $\phi$. (También hay un cambio en la amplitud, pero eso no es problema.)

Si usted tiene una serie de estas moléculas y, a continuación, cada uno tiene el mismo efecto. El efecto sobre la onda es multiplicativo para las fases agregar. Si hay una distancia $a$ entre las moléculas, a continuación, en el que viaja una distancia $x$ hay $x/a$ de las moléculas de dar un cambio de fase debido a la polarización de la $\phi x/a$. La ola se convierte en $E=Ae^{i(\omega t - k x +\phi x/a)}=Ae^{i(\omega t -k' x)}$ con $k'=k-\phi/a$, es decir, el número de onda (y por lo tanto la longitud de onda). La frecuencia es la misma, por lo que el cambio en la longitud de onda implica un cambio en la velocidad.

Este es el "poco de matemáticas' Orzel se refiere.

Answer 2

Editar : Traté de completar la Feynman cálculo. Gracias por ser amable con el inglés, que no es mi idioma nativo ! Y lo siento por posible error de cálculo !

El problema es parte de la Oseen extinción teorema. Usted encontrará usueful de referencia en https://en.wikipedia.org/wiki/Ewald%E2%80%93Oseen_extinction_theorem En particular, el irremplace Nacido y el Lobo. Pero es complicado !

Este es un simple cálculo. Es un macroscópica. No es perfecto, pero creo que es interesante.

El campo en un punto es la suma de todos los campos radiados por todos los sectores. Pero estos campos radiados dependen de la fied sí mismo y lo que nos lleva a una ecuación integral.

Con el fin de no ser demasiado largo, considero que como es conocido el campo radiado por un plano uniforme de la polarización que oscila sinusoidalmente.

Una delgada placa colocada en $z=0$ y de la longitud de la $dz$ está polarizada : un volumen $\text{d}\tau $ es equivalente a que el momento dipolar $\overrightarrow{\text{d}p}=\overrightarrow{P}\text{d}\tau =\overrightarrow{P}\text{d}z\text{d}S$. La polarización se supone que varían sinusoidalmente en el tiempo y dirigida de acuerdo a Ox: $\overrightarrow{P}=\overrightarrow{{{P}_{0}}}{{\operatorname{e}}^{j\omega t}}$con $\overrightarrow{{{P}_{0}}}={{P}_{0}}\overrightarrow{{{e}_{x}}}$ Trabajamos en representación compleja, pero el complejo de las amplitudes no son subrayados para aclarar las notaciones. Todos los vectores son a lo largo de Buey.

El campo radiado por esta placa es de ($k=\omega /c$):

$\text{d}{{E}_{x}}=-\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}(jk){{P}_{0}}dz{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t-kz \right)}}$ si $z>0$ e $\text{d}{{E}_{x}}=-\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}(jk){{P}_{0}}dz{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t+kz \right)}}$ si $z<0$

Puede encontrar el resultado en la Feynman del ciclo de conferencias : http://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_30.html

Simplemente he adaptado este resultado a un polarizado medio.

Ahora considere un medio que la polarización ${{P}_{x}}$ está relacionado con la amplitud compleja del campo eléctrico por la relación ${{P}_{0}}={{\varepsilon }_{0}}\chi {{E}_{x}}$con el a priori de la cantidad compleja llamado la susceptibilidad y la dependiente (a priori) de la frecuencia. El complejo de índices está vinculado a la susceptibilidad por ${{n}^{2}}=1+\chi $ . (Esta definición se adapta fácilmente a un conductor con conductividad $\gamma $ )

El medio se extiende por z variable de 0 a infinito. Para, $z<0$ hemos vacío. El medio es "iluminado" por un incidente de onda plana polarizada a lo largo de Buey, ${{E}_{i}}={{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{j}}^{(\omega t-kz)}$ con $k=\omega /c$. Esta ola de polarizar el medio como en la pregunta anterior.

Cada sector de la mediana continuación, se irradian. El campo total en un punto z, es la suma del campo incidente y de los campos radiados por los diferentes cortes.

Cambiando el origen de cada sector, tenemos :

${{E}_{z'>z}}(z)=-\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}jk\int\limits_{z}^{+\infty }{{{P}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t+k(z-z') \right)}}}$

${{E}_{0<z'<z}}(z)=-\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}jk\int\limits_{0}^{z }{{{P}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t-k(z-z') \right)}}}$

Desde ${{P}_{x}}(x')={{\varepsilon }_{0}}\chi {{E}_{x}}(x')$ :

${{E}_{x\,}}_{z'>z}(z)=-\frac{1}{2}jk\chi \int\limits_{z}^{+\infty }{{{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t+k(z-z') \right)}}}$

${{E}_{x\,0<z'<z}}(z)=-\frac{1}{2}jk\int\limits_{0}^{z }{\chi {{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t-k(z-z') \right)}}}$

En $z>0$ , la amplitud del campo total satisface la ecuación integral: ${{E}_{x}}(z,t)={{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{j(\omega t-kz)}}\underbrace{-\frac{1}{2}jk\chi \int\limits_{z}^{+\infty }{{{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t+k(z-z') \right)}}}}_{{{E}_{x\,}}_{z'>z}(z)}\underbrace{-\frac{1}{2}jk\chi \int\limits_{0}^{z}{{{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{j\left( \omega t-k(z-z') \right)}}}}_{{{E}_{x\,}}_{z'<z}(z)}$

Ya que el medio es lineal, tenemos ${{E}_{x}}(z,t)={{E}_{x}}(z){{\operatorname{e}}^{j(\omega t)}}$ y el campo de obedecer la ecuación integral, válido si $z>0$ :

${{E}_{x}}(z)={{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{-jkz}}-\frac{1}{2}jk\chi {{\operatorname{e}}^{jkz}}\int\limits_{z}^{+\infty }{{{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{-jkz'}}}-\frac{1}{2}jk\chi {{\operatorname{e}}^{-jkz}}\int\limits_{0}^{z}{{{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{+jkz'}}}$

Para resolver esta ecuación integral, podemos intentar una solución de la forma ${{E}_{x}}(z)=C{{\operatorname{e}}^{\left( -j\beta z \right)}}$C y $\beta $ constantes a priori complejo, y con $\operatorname{Im}(\beta )>0$ para evitar la divergencia. (También podríamos diferenciar la ecuación dos veces).

$\int\limits_{0}^{z}{\text{C}{{\operatorname{e}}^{-j\beta z'}}\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{+jkz'}}}=C\frac{1}{j(k-\beta )}({{\operatorname{e}}^{+j(k-\beta )z}}-1)$ $\int\limits_{z}^{\infty }{\text{C}{{\operatorname{e}}^{-j\beta z'}}\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{-jkz'}}}=-C\frac{1}{j(k+\beta )}({{\operatorname{e}}^{-j(k+\beta )\infty }}-{{\operatorname{e}}^{-j(k+\beta )z}})=C\frac{1}{j(k+\beta )}{{\operatorname{e}}^{-j(k+\beta )z}}$

Si reemplazamos en la ecuación original:

$C{{\operatorname{e}}^{-j\beta z}}={{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{-jkz}}-\frac{1}{2}jk\chi {{\operatorname{e}}^{jkz}}C\frac{1}{j(k+\beta )}{{\operatorname{e}}^{-j(k+\beta )z}}-\frac{1}{2}jk\chi {{\operatorname{e}}^{-jkz}}C\frac{1}{j(k-\beta )}({{\operatorname{e}}^{+j(k-\beta )z}}-1)$

$C{{\operatorname{e}}^{-j\beta z}}={{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{-jkz}}+\frac{1}{2}jk\chi {{\operatorname{e}}^{-jkz}}\frac{C}{j(k-\beta )}-\frac{1}{2}jk\chi \frac{C}{j(k+\beta )}{{\operatorname{e}}^{-j\beta z}}-\frac{1}{2}jk\chi \frac{C}{j(k-\beta )}{{\operatorname{e}}^{-j\beta z}}$

Identificamos el término en ${{\operatorname{e}}^{-j\beta z}}$

$1=-\frac{1}{2}jk\chi \frac{1}{j(k+\beta )}-\frac{1}{2}jk\chi \frac{1}{j(k-\beta )}=-\chi \frac{{{k}^{2}}}{{{k}^{2}}-{{\beta }^{2}}}\to {{\beta }^{2}}={{n}^{2}}{{k}^{2}}={{n}^{2}}\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}$

Por lo tanto, tenemos $\beta =n\frac{\omega }{c}$

La identificación con el término en ${{\operatorname{e}}^{-jkz}}$ nos encontramos con una segunda relación

$0={{E}_{0}}+\frac{1}{2}k\chi \frac{C}{(k-\beta )}$ . Da $C=\frac{2(n-1)}{{{n}^{2}}-1}{{E}_{0}}=\frac{2}{n+1}{{E}_{0}}$

El campo en la región de $z>0$ es ${{E}_{t}}=\underbrace{\frac{2}{n+1}}_{t}{{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{j}}^{(\omega t-nkz)}$ , y por tanto tenemos que el coeficiente de transmisión y el cambio de velocidad de fase mediante la adición de campos radiados con amplitudes variables, todos los que se propaga a velocidad c.

Pero se puede también calcular las ondas reflejadas en la $z<0$ región, mediante la adición de todas las ondas radiadas en esta dirección :

${{E}_{r}}(z)=-\frac{1}{2}jk\chi {{\operatorname{e}}^{jkz}}\int\limits_{0}^{+\infty }{{{E}_{x}}(z')\text{d}z'{{\operatorname{e}}^{-jkz'}}}=-{{\operatorname{e}}^{jkz}}\frac{{{n}^{2}}-1}{(n+1)}\frac{1}{n+1}{{E}_{0}}=-{{\operatorname{e}}^{jkz}}\frac{n-1}{n+1}{{E}_{0}}$

La onda reflejada es ${{E}_{t}}(z,t)=\underbrace{\frac{1-n}{1+n}}_{r}{{E}_{0}}{{\operatorname{e}}^{j(\omega t+kz)}}$ y tenemos el coeficiente de reflexión sin utilizar cualquier condición en la interfaz.

---

Podemos seguir Feynman, en el capítulo 31 del volumen 1. El resumen es :

Una sinusoidal progresiva plano de onda en el vacío de la ${{E}_{0}}{{e}^{i\omega (t-z/c)}}$ pasa a través de un plano infinito de pequeño espesor $\delta z$ y el índice de $n$.

Habitual en el formalismo de índice de refracción, se retrasa por $\delta t=(n-1)\delta z/c$ ya que avanza a la velocidad de la $c/n$ en el plato en lugar de $c$: tiempo de viaje en la placa de $\delta z(n/c)$ en lugar de $\delta z(1/c)$.

La onda después de la placa es $E={{E}_{0}}{{e}^{i(\omega (t-\delta t)-\omega z/c)}}={{e}^{i\omega (\delta t)}}{{E}_{0}}{{e}^{i(\omega (t-\delta t)-\omega z/c)}}=\underbrace{{{e}^{i\omega ((n-1)\delta z/c)}}}_{1-i\omega (n-1)\delta z/c}{{E}_{0}}{{e}^{i(\omega t-\omega z/c)}}$

Finalmente, $E'={{E}_{0}}{{e}^{i(\omega t-z/c)}}\underbrace{-i\omega (n-1)\delta z/c{{E}_{0}}{{e}^{i(\omega t-z/c)}}}_{\text{Field radiated by the plane}}$

Sólo tienes que invierta el procedimiento: la suma de la onda incidente y la onda radiada es de hecho un retraso en la onda.

Recomiendo la lectura de Feynman! (Lo siento por mi inglés)

Answer 3

La idea principal es que el cambio de la velocidad de fase es un fenómeno colectivo que sólo se manifiesta en macroscópica de campo eléctrico, pero es debido a las mutuas interacciones microscópicas de la media de los elementos, mientras que los que las interacciones tienen lugar en el vacío sin cambios de velocidad de la luz $c$.

El cambio de fase ocurre en el sentido de que el más lejano el medio es el elemento del vacío medio de la interfaz, el más grande la diferencia de fase entre la onda primaria y la secundaria onda generada en ese elemento. Las ondas secundarias no puede ser generada en fase con la onda primaria, porque entonces no sería, después de un corto camino en el medio de la pantalla el campo primario completo y no macroscópica de ondas penetran más profundo, podríamos estar mirando a la reflexión total de la onda, algo que ocurre de vez en metales, no en vidrio (al menos no si la onda de dirección es normal a la media de la interfaz.

Pero el cambio de fase no es algo que implica inmediatamente cambia la velocidad de fase, y no es fácil encontrar una explicación detallada de cómo funciona.

Por suerte, hay otra más claro argumento basado en macroscópicas de la teoría EM. En el vacío, las ecuaciones de Maxwell implican la siguiente ecuación de onda para el campo eléctrico:

$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} - \frac{\partial^2E_x}{\partial z^2} =0. $$ Si restringimos nuestra atención a las soluciones que representan armónico de ondas planas, todos obedecen la relación universal: $$ \Omega / k = c $$ donde $c$ está vacío velocidad de la luz. Menciono esto porque la definición general de la velocidad de fase es $\Omega/k$. Así, todas estas ondas tienen la velocidad de fase $c$.

Similar ecuación de onda se pueden derivar de campo eléctrico en el medio, pero hay una diferencia - un nuevo plazo. Sin embargo, para obtener esta ecuación, tenemos que hacer algunos supuestos simplificadores. Estos son:

1) la segunda derivada de la polarización de un elemento es proporcional al valor instantáneo de campo eléctrico;

2) neto macroscópica de campo eléctrico en el interior de mediano puede ser expresada como la armónica de la onda plana, al igual que en el caso de vacío:

$$ \mathbf E = E_0 \mathbf e_x \sin(\Omega t - kz). $$

En tal caso, las ecuaciones de Maxwell implican la siguiente ecuación para el campo eléctrico como función de la posición $z$ y el tiempo de $t$:

$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} - \frac{\partial^2E_x}{\partial z^2} =-C\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} $$ donde $C$ es una constante cuantificar la cantidad de medio polarizada en un determinado campo eléctrico macroscópico.

Nota el nuevo término en el lado derecho, que no estaba presente en el caso de vacío. Estos términos representa el efecto de las lentes polarizadas medio en el campo eléctrico total - el hecho de que el polarizado medio puede generar su propia, radiación secundaria.

Soluciones para $k$ como una función de la $\Omega$ se puede encontrar mediante la inserción de la supuesta forma de campo eléctrico y la manipulación. Resulta que, en general, debido a que el nuevo término de la relación de $\frac{\Omega}{k}$ no tiene el valor de vacío de $c$, pero puede ser mayor o menor, y es una función de $C$. Esto se describe en términos de cantidad $n$:

$$ \frac{\Omega}{k} = \frac{c}{n}. $$

En vidrio, generalmente de $n>1$ , de modo que las olas son más densamente a lo largo de la trayectoria de propagación.

Así, podemos ver cómo el cambio de la velocidad de fase está relacionada con polarizado medio y las leyes conocidas. Sin embargo, al mismo tiempo, tuvimos que asumir que las ondas de este simple tipo son realmente posible. Esto no es cierto en todos los casos, como no lineal de los medios de comunicación.

Answer 4

Aquí están los elementos de una respuesta basada en la Sommerfeld "Acerca de la propagación de la luz en medios dispersivos". Este es el capítulo 2 del libro de Brillouin en "la propagación de la Onda y la velocidad de grupo" (que recomiendo encarecidamente).

Para las "Matemáticas apoyo a la clásica explicación de por qué la velocidad de fase de la luz se ralentiza en un medio": no hay tal cosa, porque la velocidad de fase puede ser mayor que el $c$. De hecho, incluso la velocidad de grupo puede exceder $c$ en los casos de dispersión anómala. Tanto de la fase de grupo y de las velocidades específicas de interpretaciones válidas en específico (es decir, limitada) de las circunstancias.

"Como una luz monocromática puede disminuir en un medio": una luz monocromática tiene extensión infinita en el tiempo. Por lo tanto, no realmente "slow down"; la luz ha estado ahí y seguirá ahí para siempre. Citando a Sommerfeld: "con el fin De ser capaz de decir algo acerca de la propagación, debemos, en cambio, tienen un limitado movimiento de la onda: nada hasta un cierto momento en el tiempo, entonces, por ejemplo, una serie regular de ondas sinusoidales, que se detiene después de un cierto tiempo o que continúen vigentes indefinidamente."

Creo que una de las principales dificultades para responder este tipo de preguntas es ponerse de acuerdo sobre qué se entiende por la velocidad de la luz, o de una onda de forma más general. Por ejemplo, Sommerfeld muestra que la primera luz que emerge de un medio, cualquier medio dispersivo, lo hace exactamente a la velocidad de la luz en el vacío $c$. Él dice: "vamos a mostrar aquí que el frente de onda de la velocidad siempre es la misma con la velocidad de la luz en el vacío, $c$, independientemente de si el material es normalmente o anormalmente dispersivo, si es transparente u opaco, [...]".

La prueba se da es un poco (sólo un poco) mathy y basado en integrales en el plano complejo. Sin embargo, Sommerfeld (inspirado por Voigt, parece) también da una intuitiva mathless explicación de por qué es así: "Cuando el frente de onda de nuestra señal hace su camino a través de la óptica de la media, se encuentra con que las partículas que son capaces de oscilación originalmente en reposo, [...]. Originalmente, por lo tanto, el medio que parece ópticamente vacío, sólo después de que las partículas se ponen en movimiento, pueden influir en la fase y la forma de las ondas de luz. La propagación del frente de onda, sin embargo, las ganancias tranquilo con la velocidad de la luz en el vacío [...]."

Pero el frente de onda lleva tan poca energía con ella, y parecería más razonable para adjuntar la "velocidad" a la mayor parte de la señal en lugar de a sus "precursores". Brillouin (en el mismo libro, capítulo 3), a continuación, demuestra que la mayor parte de la señal que llega más tarde menudo (pero no siempre) la velocidad de grupo utilizando más involucrados técnicas de integración (es decir, la silla de montar-método de punto). Brillouin dice (el énfasis) "por Lo tanto, se ve que en el momento en que el camino de la integración alcanza el polo, la intensidad de la oscilación aumenta muy rápidamente [...]. Este momento, que marca la llegada de la señal, permite definir una señal de velocidad. Esta velocidad será demostrado ser igual a la velocidad de grupo, si [...]." Así que la ola ya estaba allí, pero ahora se intensificó.

Si usted es un fan de la mecánica de analogías (yo soy), aquí es una manera sencilla de poner las cosas (aunque, claramente, lejos del rigor de Sommerfeld y Brillouin métodos): Considerar la posibilidad de un periódico laminado, que es una estratificación de espacio con dos fases alternas de módulo de Young $E_i$, la densidad de masa $\rho_i$ y el espesor de la $a_i$, $i=1,2$ (esto también podría ser un dieléctrico en el que caso de $E$ e $\rho$ convertido $\epsilon$ e $\mu$ (o es al revés? De todos modos)). Un frente de onda incidente se propagan a la velocidad de $v_i=\sqrt{E_i/\rho_i}$ en la fase de $i$ y, después de la transmisión por $2n$ capas, se procederá a aproximadamente a la velocidad de $$ c = \frac{x}{t} = \frac{n(a_1+a_2)}{n(a_1/v_1+a_2/v_2)} = \frac{1}{\langle 1/v_i\rangle} $$ donde $\langle\rangle$ es un promedio wieghted por la $a_i$. Pero la transmisión directa a través de $2n$ capas de hojas muy poca energía para que la parte delantera. La mayor parte de la señal que pasa a través de muchas más reflexiones y transmisiones (no a diferencia de lo que sucede en el efecto invernadero). Para analizar estas con precisión, tenemos que hacer una completa y participan de la combinatoria de la cuenta (excusas, lo sé). Una forma de evitar que, es de suponer que la mayor parte de la señal de las frecuencias bajas de manera que la onda típica en realidad se extiende sobre varias capas. En ese caso, el laminado tiene una "efectiva" del módulo de Young y una "eficacia" de la densidad de la masa dada por $$ E = \frac{1}{\langle 1/E_i\rangle},\quad \rho = \langle\rho_i\rangle. $$ Para conseguir el primero de estos, imaginemos a dos resortes conectados en serie. Por lo tanto, señales de baja frecuencia van a la velocidad $$ v = \sqrt{E/\rho} $$ y, de hecho, tenemos $v\leq c$ debido a algunos conocidos de la desigualdad (siempre es de Cauchy-Schwarz).

Con todo, un frente de onda pasa a una velocidad (la velocidad máxima) permite en un medio dado. Todas las otras cosas, seguir y por lo tanto son un poco más lento. En ese sentido, no hay mucho que demostrar.