Para encontrar el inverso de un tipo especial de matriz.

Question

En un problema de análisis matricial, encontré el siguiente tipo especial de matriz

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & a & a & a & a \\ 1 & 0 & a& a& a& a \\ a& a &0 & 1& a& a \\ a& a &1 & 0 & a& a \\ a & a & a & a &0 & 1\\ a & a & a & a &1 & 0 \end {bmatrix}$$

donde $a$ es un entero positivo. Pero esta matriz no es una matriz en circulación. No está en mi conocimiento si esta es una forma conocida.

También podemos buscar inversos para la forma general de la matriz para un orden uniforme.

Answer 1

Puedes escribirlo como una suma:

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & a & a & a & a \\ 1 & 0 & a & a & a & a \\ a & a & 0 & 1 & a & a \\ a & a & 1 & 0 & a & a \\ a & a & a & a & 0 & 1 \\ a & a & a & a & 1 & 0 \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} -a & 1-a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-a & -a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -a & 1-a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & -a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -a & 1-a \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1-a & -a \end {bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ a\\ a \\ a \\ a \\ a \end {bmatrix} .\begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \\ 1 \end {bmatrix} ^ T$$ y luego use la fórmula de Sherman-Morrison para Invierte esta suma de dos matrices. La dimensión de la matriz se puede adaptar fácilmente.

Answer 2

Este es un BCCB de la matriz (Bloque circulantes con circulantes bloques). Tenemos

$\mathbf A = \begin{pmatrix} \mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_2 \\ \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 \\ \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_1 \\ \end{pmatrix}$

con $\mathbf C_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$y $\mathbf C_2 = \begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix}$. Claramente $\mathbf A$ es de bloque circulantes y $C_1$ e $C_2$ también son circulantes.

Puede ser diagonalized con el 2D de la DFT de la matriz (en lugar de la (1D) de la DFT de la matriz para el común de matrices circulantes). Cuando se diagonalized la inversa es fácilmente obtenida por la inversión de los elementos en la diagonal de la matriz (a cualquier aplicación de la inversa 2D DFT). También se sabe que es invertable si y sólo si no hay ceros en la diagonal de la matriz.

Los detalles se pueden encontrar aquí.

Answer 3

Suponga que la matriz es $2n\times 2n$. Deje $J=\pmatrix{0&1\\ 1&0},\ E=\pmatrix{1&1\\ 1&1}$. A continuación, la matriz puede ser escrito como $$M=\pmatrix{J&aE&\cdots&aE\\ aE&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&aE\\ aE&\cdots&aE&J}.$$ Tenga en cuenta que $$\pmatrix{J&aE&\cdots&aE\\ aE&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&aE\\ aE&\cdots&aE&J} \underbrace{\pmatrix{pJ+qE&rE&\cdots&rE\\ rE&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&rE\\ rE&\cdots&rE&pJ+qE}}_{\text{conjetura } M^{-1}} =\pmatrix{X&Y&\cdots&Y\\ Y&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&Y\\ Y&\cdots&Y&X},$$ donde $$\begin{aligned} X&=J(pJ+qE)+(n-1)(aE)(rE)\\ &=pI+\left[q+2(n-1)ar\right]E,\\ Y&=(aE)(pJ+qE)+J(rE)+(n-2)(aE)(rE)\\ &=\left[ap+2aq+(2(n-2)a+1)r\right]E. \end{aligned}$$ Así, $M^{-1}$ se puede encontrar mediante la resolución del sistema de ecuaciones $p=1$, $q+2(n-1)ar=0$ e $ap+2aq+(2(n-2)a+1)r=0$. No es difícil ver que la solución está dada por $$p=1,\qquad q=\dfrac{-2(n-1)^2}{4(n-1)^2-2(n-2)-1},\qquad r=\dfrac{a}{4(n-1)^2-2(n-2)-1}.$$ (Como $a$ es un número entero, el denominador términos en $q$ e $r$ son números impares y, por tanto, nunca son cero.)

Answer 4

Dejar

$$\mathrm B := \begin{bmatrix} -a & 1-a\\ 1-a & -a\end{bmatrix}$$

whose inverse is

$$\mathrm B^{-1} = \frac{1}{1-2a} \begin{bmatrix} a & 1-a\\ 1-a & a\end{bmatrix}$$

We would like to compute the inverse of

$$\mathrm M := a 1_6 1_6^\top + (\mathrm I_3 \otimes \mathrm B)$$

where $\ otimes$ denotes the Kronecker product. Using Sherman-Morrison,

$$\mathrm M^{-1} = \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) - \frac{\left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) a 1_6 1_6^\top \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right)}{1 + a 1_6^\top \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) 1_6}$$

where

$$\left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) 1_6 = \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) \left( 1_3 \otimes 1_2 \right) = 1_3 \otimes \left( \mathrm B^{-1} 1_2\right) = \left( \frac{1}{1-2a} \right) 1_6$$

and

$$1_6^\top \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) = \left( \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-\top} \right) 1_6 \right)^\top = \left( \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) 1_6 \right)^\top = \left( \frac{1}{1-2a} \right) 1_6^\top$$

Hence,

$$\begin{aligned} \mathrm M^{-1} &= \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) - \frac{1}{(1- 2 a)^2} \left(\frac{a}{1 + \left( \frac{6a}{1-2a} \right)}\right) 1_6 1_6^\top \\ &= \left( \mathrm I_3 \otimes \mathrm B^{-1} \right) - \frac{a}{(1 - 2 a) (1 + 4 a)} 1_6 1_6^\top \end{aligned}$$

Using SymPy:

>>> from sympy import *
>>> a = Symbol('a', real=True, positive=True)
>>> M = Matrix([[0,1,a,a,a,a],
                [1,0,a,a,a,a],
                [a,a,0,1,a,a],
                [a,a,1,0,a,a],
                [a,a,a,a,0,1],
                [a,a,a,a,1,0]])
>>> B = Matrix([[ -a,1-a],
                [1-a, -a]])
>>> M_inv = TensorProduct(eye(3), B**-1) - (a / ((1+4*a) * (1-2*a))) * ones(6,6)

Verifying if the inverse was computed correctly:

>>> simplify(M * M_inv)
Matrix([
[1, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 1]])

Indeed, it was. Factoring out $1 - 2 a$ and $1 + 4 a$:

>>> simplify((1-2*a) * (1+4*a) * M_inv)
Matrix([
[                4*a**2, -a - (a - 1)*(4*a + 1),                     -a,                     -a,                     -a,                     -a],
[-a - (a - 1)*(4*a + 1),                 4*a**2,                     -a,                     -a,                     -a,                     -a],
[                    -a,                     -a,                 4*a**2, -a - (a - 1)*(4*a + 1),                     -a,                     -a],
[                    -a,                     -a, -a - (a - 1)*(4*a + 1),                 4*a**2,                     -a,                     -a],
[                    -a,                     -a,                     -a,                     -a,                 4*a**2, -a - (a - 1)*(4*a + 1)],
[                    -a,                     -a,                     -a,                     -a, -a - (a - 1)*(4*a + 1),                 4*a**2]])

Hence,

$$\mathrm M^{-1} = \frac{1}{(1 - 2 a) (1 + 4 a)} $$\begin{bmatrix} 4 a^{2} & g (a) & - a & - a & - a & - a\\ g (a) & 4 a^{2} & - a & - a & - a & - a\\- a & - a & 4 a^{2} & g (a) & - a & - a\\- a & - a & g (a) & 4 a^{2} & - a & - a\\- a & - a & - a & - a & 4 a^{2} & g (a)\\- a & - a & - a & - a & g (a) & 4 a^{2}\end{bmatrix}$$ $ PS