¿Por qué los subconjuntos de conjuntos compactos no son compactos?

Question

Tanto de las propiedades de los conjuntos compactos son motivados por finito de conjuntos, hasta el punto de que el pensamiento de compact establece como topológicamente finito de conjuntos puede ofrecer una comprensión más profunda. Pero finito de conjuntos tienen la intuitiva propiedad de que cada subconjunto de un conjunto finito es también compacto(también finito), ¿por qué es que compacta los conjuntos de renunciar a esto?

Es fácil de estado que se acaba de hacer y proveer un ejemplo $I=(0,1)$ e $K=[0,1]$ como un ejemplo, pero el problema con esto es realmente sólo ayuda a iluminar cómo compact series de trabajo en la distancia euclídea espacios. No es cierto en general en todos los espacios que se abren conjuntos no están compacto, o que cerrado y acotado conjuntos son compactos. Así que no es un problema de la generalización de las ideas.

El corazón de mi pregunta es: Dado un subconjunto $E$ de un conjunto compacto $K$ ¿por qué no es compacto?

Respuesta Simple: Porque no es una cubierta abierta de a$E$ que no tiene finita subcover

La pregunta más profunda: ¿por Qué?

Answer 1

Aquí hay una simetría / dualidad agradable que surge del hecho de que "finito" tiene dos generalizaciones en la categoría topológica.

Las imágenes y subconjuntos de conjuntos finitos son finitos.

Los espacios topológicos discretos generalizan los conjuntos finitos en los que los subespacios heredan la propiedad.

Los espacios topológicos compactos generalizan los conjuntos finitos en que las imágenes heredan la propiedad.

Un espacio topológico, discreto y compacto, es finito.

Answer 2

Una manera de verlo es pensar que la compacidad significa que las secuencias (en general, redes) no puede "escaparse". Hay dos tipos de "huir":

1. Corriendo hasta el infinito (fallo del juego para ser acotado, o algunos analógico*. El fracaso de la secuencia/net tiene ningún punto límite en todos).
2. Huir a un punto límite que no está en el conjunto (el fracaso de un conjunto a ser cerrado. La secuencia/net tiene un punto límite(s) en un espacio ambiente, pero el punto es que faltan de la serie en cuestión).

Si tengo un espacio compacto $X$, y me quite un punto, $X-\{p\}$ de repente puede permitir que el segundo tipo de "huir".

Al principio parecía incómodo para mí la frase de estas cosas en términos de secuencias y de las redes, debido a que las secuencias y las redes son "discretos" objetos que describen un continuo cosa. Pero uno siempre puede frase todo en términos de redes/filtros de bloques abiertos, no de puntos. Que puede hacer que parezca un poco más natural.

En cualquier caso, el punto básico de un conjunto compacto es que no te deje jugar un cierto tipo de juego con el infinito.

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*Por ejemplo, un espacio uniforme es compacto iff totalmente delimitado y Cauchy completa, que son exactamente análogas a las condiciones 1 y 2 anteriores.

Answer 3

Lo que puede ser después es la idea de un subconjunto "precompacto", es decir, un subconjunto cuyo cierre es compacto. Entonces, cada subconjunto de un conjunto precompacto es precompacto; como son las uniones finitas de ellos. Un conjunto compacto es un conjunto cerrado pre-compacto.

Para los espacios métricos, existe un concepto estrechamente conectado de subconjuntos "totalmente delimitados"; Un conjunto completo totalmente acotado es compacto.

Answer 4

Debido a que un subconjunto de un conjunto compacto es más pequeño que el conjunto compacto, el subconjunto puede tener un diferente abra la cubierta que hace no cubren el conjunto compacto.

Esta abierto de la cubierta no puede tener un número finito de subcover.

Ejemplo: supongamos $A = [0,1]$ e $B = (0, 1] \subset A$.

Ahora $U = \{U_i| U_i= (\frac 1i, 1.1)\}$ es una cubierta abierta de a$B$ , pero no es una cubierta abierta de a$A$. (E $U$ no tiene un número finito de subcovering de $A$.)

Para extender $U$ , de manera que, se cubrirá $A$ debemos agregar un conjunto abierto que contiene a$0$. Llamar a ese $U_{\alpha}$ e $0 \in U_{\alpha}$ y ahora $U \cup \{U_{\alpha}\}$ es una cubierta abierta de a$A$.

Pero $U_{\alpha}$ está abierto de modo que hay un $r > 0$ , de modo que $N_r(0) = (-r, r) \subset U_\alpha$. Pero podemos encontrar una $n > \frac 1r$ o en otras palabras $0 < \frac 1n < r$.

Por lo $(0, \frac 1n] \subset U_{\alpha}$ lo $(0, \frac 1n]$ es cubierto , pero el único conjunto abierto $U_{\alpha}$. Sin $U_{\alpha}$ y con sólo $U = \{U_i = (\frac 1i, 1.1)\}$ habríamos necesitado un número infinito de $U_i| i > n$ a cubrir $(0, \frac 1n]$. Pero con $U_{\alpha}$ no necesitamos NINGUNA de ellas nunca más.

Así que ... tirar a la basura! Nos quedamos con $\{U_\alpha\} \cup \{U_i|i \le n; n > \frac 1r\}$ y que es un finito subcover de $A$. Y de $B$.

Pero el punto es. Sin el requisito de que existe un conjunto abierto que contiene a$0$ no tendríamos una situación en la que un único conjunto abierto debe "hacer el trabajo" de un número infinito de abrir establece que un no-compacto, sin el punto de $0$ podría requerir.

... de manera más explícita, tal vez con demasiado detalle...

Por lo $A \setminus U_\alpha \subset (\frac 1n, 1]\subset B$. Y $(\frac 1n, 1]$ es cubierto por el finito subclase $\{U_i| i \le n\}$ y no tenemos la necesidad de $\{U_i| i > n\}$ porque $U_\alpha$ lo cubre todo, en $A$ que no estaba cubierta en $\{U_i|i > n\}$.

(Es decir, $U_{\alpha}$ cubre $\{0\} \cup (0, \frac 1n]$ , mientras que sin $U_\alpha$ nos necesita a TODOS los de $\{U_i| i > n\}$ a cubrir $(0, \frac 1n]$)

Por lo $\{U_i|i \le n\} \cup \{U_\alpha\} \subset U \cup \{U_\alpha\}$ es finita subcover de $A$. (aun que $U$ no tenía finito subcover de $B$.