¿Cuáles son algunos ejemplos de generalizaciones a dimensiones superiores que no se cumplen?

Question

Mi profesora dijo (vacilante)

$\textit{Si funciona en 1-D, es probable que también funcione en N-D}$

Vacilante porque, comentó, no es cierto para todo (lo cual es de esperar).

Después de algunas investigaciones, encontré un ejemplo:

En 1-D y 2-D, si comienzas en el origen y continúas realizando pasos unitarios aleatorios en cada una de las direcciones cardinales (norte, sur, este, oeste, etc.), regresarás al origen con probabilidad uno. Esto falla para dimensiones tres y superiores, de hecho, regresas al origen con probabilidad cero en esos casos.

¿Cuáles son algunos otros ejemplos sorprendentes de esto?

Answer 1

Un ejemplo rápido que me vino a la mente: considera $\Bbb R^n$ con la métrica euclidiana y $\Omega \subset \Bbb R^n$ un conjunto abierto y conexo no vacío. Toma $p \in \Omega$. Entonces $\Omega \setminus \{p\}$ también es conexo.... excepto cuando $n=1$.

Answer 2

Ampliando mi comentario:

El espacio vectorial $\mathbb{R}$ se puede equipar con una relación de orden $\le$ de manera que $(\mathbb{R},\le)$ sea un espacio vectorial total ordenado con la propiedad arquimediana. Esto no es posible en $\mathbb{R}^2$: aquí el orden lexicográfico es total pero no arquimediano.

Otra propiedad:

Las rotaciones en $\mathbb{R}^2$ conmutan, pero en $\mathbb{R}^3$ no, y en $\mathbb{R}$ se reducen al grupo trivial.

Answer 3

Todas las rotaciones no triviales en $n$ dimensiones son sobre un único eje $(n-2)$-dimensional. Esto se cumple en las dimensiones 2 y 3, pero falla en las dimensiones 4 y superiores. (Por supuesto, en $1$ dimensión, no hay rotaciones no triviales.)

Answer 4

La física proporciona muchos ejemplos de este tipo que se pueden traducir en declaraciones matemáticas.

1. Uno de mis favoritos proviene de la historia del modelo de Ising. Citaremos a Wikipedia:

   En su tesis doctoral de 1924, Ising resolvió el modelo para el caso 1D. En una dimensión, la solución no admite ninguna transición de fase. Sobre la base de este resultado, concluyó incorrectamente que su modelo no exhibe comportamiento de fase en ninguna dimensión.

   En realidad, esto ni siquiera se trataba del modelo específico, sino de la posibilidad de describir transiciones de fase dentro del formalismo de la mecánica estadística. El problema se resolvió definitivamente con la solución de 2D de Onsager.

2. El pozo de potencial de profundidad arbitrariamente pequeña conduce a al menos un estado ligado en 1D y 2D, pero no en 3D. Esto tiene que ver con la localización.

3. La simetría conforme es infinitamente dimensional en 2D pero solo de dimensionalidad finita a partir de $D\ge 3$.

Answer 5

$R^n$ para n = 1,2 puede ser un campo pero es imposible para n = 3. Para n = 4 es posible una multiplicación de campo pero no es conmutativa (el primer ejemplo de un campo no conmutativo, los cuaterniones, necesariamente infinito debido al teorema de Wedderburn:"todo campo finito es conmutativo")