preguntas sobre el buen orden

Question

1. En Wikipedia, bien de orden es se define como un estricto orden total en un conjunto S con la propiedad de que cada no vacío subconjunto de S tiene al menos un elemento en este orden.

   Pero luego, más tarde, bien de orden es definido como un orden total en S con la propiedad de que todos los no-vacío subconjunto de S tiene al menos un elemento en este orden.

   Hasta donde yo sé, un orden total y un estricto orden total son diferentes. Uno no es el otro. Así que yo estaba preguntándose si bien el orden es definido para el total de la orden o de la estricta total orden o ambos? Si, por tanto, son ellos equivalentes en el sentido de que si un total del pedido es así, entonces su correspondiente estricto orden total es también de orden? Viceversa?

2. En la misma Wikipedia página, también dice que "un buen orden es un fundada estricto orden total". Como He hecho clic en la definición de Bien founded_relation, dice "una relación binaria R, es fundada o justificado) en un clase X si y sólo si cada no vacío subconjunto de X tiene un mínimo elemento con respecto a R". Como mínimo elemento se define por orden parcial no por estricto orden total, es cierto que fundada orden es parcial el fin y no un estricto orden total? Por lo que el mencionada "un buen orden es un fundada estricto orden total" es no bien establecido?

Gracias y saludos!

Answer 1

Si $\leq$ es un orden total en un conjunto $S$, entonces la nueva relación $<$ definido por $x < y$ fib ( $x \leq y$ $x \neq y$ ) es un estricto orden total en $S$.

Si $<$ es un estricto orden total en un conjunto $S$, entonces la nueva relación $\leq$ definido por $x \leq y$ fib ($x < y$ o $x = y$) es un orden total en $S$.

En otras palabras, de una manera bastante evidente modo, siempre se puede intercambiar un orden total para un estricto orden total y a la inversa. Así que en realidad no importa que la definición está tomada. Uno puede comprobar fácilmente que la definición de un bien de orden en un contexto lleva a la definición de un bien de orden en la configuración de otra.

Answer 2

1. Si un conjunto es totalmente ordenado, el estricto orden total es implícita.

Definición de la orden total de la Wikipedia:

$\forall a, b, c \in X$

Si $a ≤ b$ $b ≤ a$ $a = b$ (antisymmetry);
Si $a ≤ b$ $b ≤ c$ $a ≤ c$ (transitividad);
$a ≤ b$ o $b ≤ a$ (totalidad).

Definición de estricto orden total de la Wikipedia:

$\forall a, b \in X$

$a < b$ si y sólo si $a ≤ b$ $a ≠ b$
$a < b$ si y sólo si no $b ≤ a$

Si se comparan las definiciones, usted verá que no hay condiciones bajo las cuales el segundo conjunto de reglas no es válido, suponiendo que el primer conjunto de reglas. Así, decir que un conjunto está bien ordenado si es totalmente ordenado tiene sentido, porque total del pedido implica la existencia de una estricta total de la orden (y, por tanto, el buen orden) en el conjunto dado.

2. Estoy bastante seguro de que uno puede usar el término "mínimo elemento' con respecto a totalmente ordenado conjuntos también.

Answer 3

Para la primera pregunta, teniendo estricto y no estricto de las órdenes a estar bien-pedido de usted y la forma de usarlo.

Sin embargo, en la teoría de conjuntos es generalmente más fácil de usar estricto orden en la definición, porque se ahorra el problema de las $x\le y\wedge y\le x$, además queremos $\in$ a definir algunas de las relaciones y tiene que ser estricta por el axioma de fundación (también se conoce como axioma de regularidad en algunas partes del mundo).

Como para un mínimo de elementos, que no son sólo para el parcial de las órdenes, pero en cualquier orden. Si $R$ es alguna relación en $A$ $x$ $R$- mínimo si $\forall y (yRx \rightarrow y=x)$, la nota por la forma en que si $R$ no es reflexiva, a continuación, esto sigue siendo cierto, pero usted podría frase como $\forall y\neg(yRx)$, que es más clara.

La mejor manera, en mi opinión, para comprender en profundidad estas opciones de definiciones es el estudio de algunos teoremas de la teoría de conjuntos sobre definiciones recursivas, transfinito inducciones y los teoremas necesarios para aquellos. En estas pruebas queda muy claro el por qué uno prefiere estricto de las relaciones sobre la no estricta.

Una observación final, a pesar de los estrictos y no estrictos total de pedidos son "muy diferentes", que sólo se diferencian por la reflexividad que es de alguna vacuo condición que desea agregar cuando es más fácil la tiene y quitarlo cuando usted encuentra que es más fácil de manejar sin ella.