Relación entre la primera forma fundamental para diferentes parametrizaciones.

Question

La esfera tiene un mapa de parametrización para un parche de superficie$\phi(u,v)=(u,v,\sqrt{1-u^2-v^2})$.

Tiene otro mapa de parametrización para un parche de superficie$\beta (x,y)=(\sin x \cos y,\sin x \sin y,\cos x)$.

Para la primera viene la primera forma fundamental. $E= \frac{1-v^2}{1-v^2-u^2}$,$F=\frac{uv}{1-v^2-u^2}$ y$G=\frac{1-u^2}{1-v^2-u^2}$.

Si calculamos la primera forma fundamental entonces segundo caso tenemos. $E= 1 , F=0 , G= \sin^2 x$.

Mi pregunta es cómo podemos relacionarlos en el dominio común.

Answer 1

Para cada punto de su dominio común, usted puede encontrar un barrio, de modo que $\phi_u,\phi_v$ $\beta_u,\beta_v$ forma una base para $T_pS$. En lo que escribí más arriba, vamos a $E,F,G$ ser los coeficientes de la primera forma fundamental con respecto a $\phi$ $\widetilde E,\widetilde F,\widetilde G$ ser los coeficientes con respecto a $\beta$. En estos respectivas bases, la forma bilineal $\langle \ ,\ \rangle$ correspondiente a la primera forma fundamental (forma cuadrática) tiene la representación de la matriz dada a través de estos coeficientes.

Estas matrices son tanto de la matriz de representaciones de la misma forma bilineal (es decir, la métrica), pero en diferentes bases. Para relacionar estas dos matrices, usted sólo tiene que encontrar la matriz de cambio de base entre el$\phi_u,\phi_v$$\beta_u,\beta_v$. Como se sugiere en los comentarios, esto es, donde la regla de la cadena se vienen en.