Acabo de empezar a aprender "riguroso" del cálculo, y me di cuenta de que muchos de los teoremas de cálculo son bastante obvio desde el punto geométrico de unos pocos.
Algunos ejemplos:
1. Demostrar que la derivada de una extraña (resp. incluso, cuando existe, es incluso (resp. impar)
Dado que la gráfica es simétrica con respecto al origen, las pendientes de las tangentes de las líneas en $x=a$ $x=-a$ debe ser igual, por lo tanto la derivada es incluso. Del mismo modo la función.
2. Si $f$ es uno-uno y continuo, $f^{-1}$ es también continua.
Esto no puede ser más obvio. $f^{-1}$ es sólo el reflejo de $f$ sobre la línea de $y=x$.
3. $\displaystyle\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$
La suma del área de las $a$ $b$y el área de $b$ $c$es, por supuesto, el área de$a$$c$.
4. Si $f$ es un uno-de una función en un$[a,b]$, $\displaystyle\int_a^bf(x)dx+\int_{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx=bf(b)-af(a).$
Muy claro si se dibuja un diagrama. La suma de las dos integrales es la diferencia de los dos rectángulos.
5. Si $f$ es creciente y $f(0)=0$, $a,b>0$ tenemos $\displaystyle\int_0^af(a)dx+\int_0^bf^{-1}(x)dx\ge ab$.
También es claro en el diagrama. Hay un "restos" de la parte fuera del rectángulo de área $ab$.
Por supuesto, estas pruebas no son rigurosos, y posiblemente no es válida en absoluto. En primer lugar, que sólo tienen en cuenta la fácil casos. En segundo lugar, he utilizado la interfaz intuitiva de las propiedades de los objetos geométricos sin pruebas.
Entonces, me pregunto, ¿hay alguna teoría que conecta el cálculo con geometría rigurosamente? Tal teoría podría ayudar a simplificar el cálculo de las pruebas enormemente, como yo más o menos esbozado anteriormente.
