La respuesta más simple es que él es el uso de ciertos objetos, tales como números naturales y las funciones a través de sus propiedades abstractas (denominadas interfaces en los lenguajes de programación), en lugar de clavos hacia abajo de los objetos específicos que tienen esas propiedades (llamado implementaciones de lenguajes de programación). La razón es que generalmente la atención acerca de las interfaces, y rara vez acerca de la forma exacta en que se implementan.
Recuerde que normalmente los objetos matemáticos no vienen solos, sino como miembros de alguna estructura y las propiedades que queremos que ellos tengan es mejor entendido como propiedades de la estructura como un todo único. Eso también significa que somos libres para cambiar la estructura siempre que cumplan con las mismas propiedades.
El ejemplo típico es el de los números naturales. Casi todo el tiempo sólo nos preocupa acerca de las propiedades que tienen en relación uno con otro, como $0 < 1 < 2 < 3 < \cdots$, y la inducción sobre los números naturales. Estas propiedades son todos los necesarios para mantener independientemente de cómo la colección de números naturales es en realidad formada. ZFC tiene muchas maneras de exponer un modelo de PA, y en el hecho de Zermelo original de la construcción de uno de estos modelos era diferente de la estándar de von Neumann de la construcción. La razón por la que uso el último ahora es uno de los raros casos en que nos encontramos con que es más conveniente tener los números naturales ser un conjunto transitivo, por lo que son ordinales de von Neumann. Hay ventajas técnicas para que, porque podemos usar incorporado el símbolo $\in$ para el orden de los números ordinales. Se puede decir que nos gusta la estructura de los números naturales para satisfacer internamente PA y externamente ser una subestructura de la estructura de los números ordinales, así que no hay razón especial para el privilegio de von Neumann de la construcción de los números naturales.
Otro ejemplo típico es el de los números reales. Este tiempo que nunca en la práctica del cuidado de cómo se construyen. Como siempre y cuando satisfagan las propiedades de campo y el de segundo orden, integridad axioma, que es lo suficientemente bueno. Se puede decir que solo necesitamos la estructura de los reales de satisfacer las propiedades internas, y no nos importa ninguna de propiedades externas. Así que si el uso elegir las secuencias de Cauchy racionales o Dedekind recortes de los racionales o decimal secuencias, no importa en absoluto. El único punto en el que lo que importa es el cuando se quiere construir la estructura para mostrar que hay alguna instancia de la satisfacción de las propiedades deseadas, donde en algunos sistemas débiles de algunos de estos no son posibles de construir. A partir de entonces usamos los números reales sólo a través de su interfaz.
Del mismo modo para las funciones. En ZFC que puede ser codificado como un tipo especial de subconjuntos del producto cartesiano de dominio y codominio, pero en la práctica no nos importa, y a veces no quiere que la restricción, cuando se trabaja con funciones de clase por ejemplo. Usted ve, usted piensa en el powerset símbolo $\mathcal{P}$ como una función, ¿no? Pero no puede ser un conjunto en ZFC, a menos que desee una contradicción. Mismo para la cardinalidad del mapa, y en general para cualquier función-como la cosa cuyo dominio o codominio no es un conjunto. Uno podría trabajar en el estrictamente más fuerte MK teoría de conjuntos para evitar ese problema, pero el punto sigue siendo que en realidad no importa cómo se han implementado funciones como el tiempo que puede usarlos de la manera que esperamos que vuelvan a funcionar.
Para asegurarse de que las estructuras matemáticas uno de los usos pueden ser construidos en ZFC, uno sólo tiene que asegurarse de que no hay un conjunto de ZFC que satisface la interfaz deseada (como para los números naturales y reales), o hay un sintáctico de la traducción de una prueba para una prueba en ZFC (tales como pruebas usando funciones de clase, que a menudo, pero no siempre se puede traducir de manera sistemática en las pruebas de que el trabajo en ZFC, simplemente mediante la sustitución del uso de esas funciones mediante fórmulas), o que uno está trabajando en un conservador de extensión de ZFC (tales como el uso completo de la abreviatura de energía).
