¿Cuántos géneros hay en la teoría de conjuntos de Terry Tao?

Question

En 2010 su post, Una perspectiva computacional en la teoría de conjuntos, Terry Tao escribe:

El estándar moderno de la fundación de las matemáticas se construyen utilizando la teoría de conjuntos. Con estas bases, la matemática del universo de los objetos de uno de los estudios, contiene no sólo los "primitivos" de los objetos matemáticos como números y puntos, pero también conjuntos de estos objetos, conjuntos de conjuntos de objetos, y así sucesivamente. (En una pura teoría de conjuntos, los objetos primitivos serían ellos mismos conjuntos; esto es útil para el estudio de los fundamentos de las matemáticas, pero para la mayoría de los matemáticos de los efectos es más conveniente, y menos conceptualmente confuso, para que se abstengan de modelado de objetos primitivos como conjuntos.) Uno tiene que cuidadosamente imponer una adecuada colección de axiomas en estos conjuntos, con el fin de evitar paradojas tales como la paradoja de Russell; pero con un estándar de sistema de axiomas tales como Zermelo-Fraenkel-Elección (ZFC), todos los reales paradojas que conocemos son eliminados.

Parece que él no está utilizando lo que él llama una "pura teoría" para la construcción de los fundamentos de las matemáticas, porque él no es el modelado de todos los objetos primitivos como conjuntos. Esto parece descalificar a ZFC, ya que suele ser presentado como un único ordenado de la teoría, aunque él menciona ZFC por su nombre como una forma de eliminar las conocidas paradojas, y funciona a partir de los axiomas de ZFC en el Conjunto de la Teoría de la sección de 2009 su post, El "no auto-derrota objeto" argumento. Dudo que un matemático de su calibre sería el contenido a trabajar en una teoría de los axiomas que no son claras, así que estoy tratando de definir los detalles de su teoría de conjuntos. Él está trabajando en una versión ordenada de ZFC, que permite que se urelements? O es él trabajando en ZFC y diciendo que si bien en su núcleo, todos los objetos primitivos son conjuntos, se debe tratar de no pensar en eso y dejar que se interponga en el camino de su estudio como las que estamos acostumbrados?

Answer 1

La respuesta más simple es que él es el uso de ciertos objetos, tales como números naturales y las funciones a través de sus propiedades abstractas (denominadas interfaces en los lenguajes de programación), en lugar de clavos hacia abajo de los objetos específicos que tienen esas propiedades (llamado implementaciones de lenguajes de programación). La razón es que generalmente la atención acerca de las interfaces, y rara vez acerca de la forma exacta en que se implementan.

Recuerde que normalmente los objetos matemáticos no vienen solos, sino como miembros de alguna estructura y las propiedades que queremos que ellos tengan es mejor entendido como propiedades de la estructura como un todo único. Eso también significa que somos libres para cambiar la estructura siempre que cumplan con las mismas propiedades.

El ejemplo típico es el de los números naturales. Casi todo el tiempo sólo nos preocupa acerca de las propiedades que tienen en relación uno con otro, como $0 < 1 < 2 < 3 < \cdots$, y la inducción sobre los números naturales. Estas propiedades son todos los necesarios para mantener independientemente de cómo la colección de números naturales es en realidad formada. ZFC tiene muchas maneras de exponer un modelo de PA, y en el hecho de Zermelo original de la construcción de uno de estos modelos era diferente de la estándar de von Neumann de la construcción. La razón por la que uso el último ahora es uno de los raros casos en que nos encontramos con que es más conveniente tener los números naturales ser un conjunto transitivo, por lo que son ordinales de von Neumann. Hay ventajas técnicas para que, porque podemos usar incorporado el símbolo $\in$ para el orden de los números ordinales. Se puede decir que nos gusta la estructura de los números naturales para satisfacer internamente PA y externamente ser una subestructura de la estructura de los números ordinales, así que no hay razón especial para el privilegio de von Neumann de la construcción de los números naturales.

Otro ejemplo típico es el de los números reales. Este tiempo que nunca en la práctica del cuidado de cómo se construyen. Como siempre y cuando satisfagan las propiedades de campo y el de segundo orden, integridad axioma, que es lo suficientemente bueno. Se puede decir que solo necesitamos la estructura de los reales de satisfacer las propiedades internas, y no nos importa ninguna de propiedades externas. Así que si el uso elegir las secuencias de Cauchy racionales o Dedekind recortes de los racionales o decimal secuencias, no importa en absoluto. El único punto en el que lo que importa es el cuando se quiere construir la estructura para mostrar que hay alguna instancia de la satisfacción de las propiedades deseadas, donde en algunos sistemas débiles de algunos de estos no son posibles de construir. A partir de entonces usamos los números reales sólo a través de su interfaz.

Del mismo modo para las funciones. En ZFC que puede ser codificado como un tipo especial de subconjuntos del producto cartesiano de dominio y codominio, pero en la práctica no nos importa, y a veces no quiere que la restricción, cuando se trabaja con funciones de clase por ejemplo. Usted ve, usted piensa en el powerset símbolo $\mathcal{P}$ como una función, ¿no? Pero no puede ser un conjunto en ZFC, a menos que desee una contradicción. Mismo para la cardinalidad del mapa, y en general para cualquier función-como la cosa cuyo dominio o codominio no es un conjunto. Uno podría trabajar en el estrictamente más fuerte MK teoría de conjuntos para evitar ese problema, pero el punto sigue siendo que en realidad no importa cómo se han implementado funciones como el tiempo que puede usarlos de la manera que esperamos que vuelvan a funcionar.

Para asegurarse de que las estructuras matemáticas uno de los usos pueden ser construidos en ZFC, uno sólo tiene que asegurarse de que no hay un conjunto de ZFC que satisface la interfaz deseada (como para los números naturales y reales), o hay un sintáctico de la traducción de una prueba para una prueba en ZFC (tales como pruebas usando funciones de clase, que a menudo, pero no siempre se puede traducir de manera sistemática en las pruebas de que el trabajo en ZFC, simplemente mediante la sustitución del uso de esas funciones mediante fórmulas), o que uno está trabajando en un conservador de extensión de ZFC (tales como el uso completo de la abreviatura de energía).

Answer 2

Tao de la referencia a la pura teoría alude a la construcción de los números naturales, comenzando con el conjunto vacío. En von Neumann versión de él, definimos $0=\varnothing$, $1=\{\varnothing\}$, $2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ y, más generalmente,$n+1=\{0,1,\ldots n\}$. Uno puede continuar en esta línea y definir los números racionales y los números reales como ciertos tipos de conjuntos. En esta imagen, los números no son "primitivos" como Tao dice, o "átomos", para abreviar. A continuación, el de von Neumann rango de $n$ es, precisamente,$n$, la de von Neumann rango de cualquier conjunto infinito de los números racionales es $\omega$ (el menos infinito ordinal), y el de von Neumann rango de un número real es de $\omega+1$.

Prácticamente hablando, en muchas ramas de las matemáticas es conveniente considerar los números como los átomos, y continuar desde allí.

Por ejemplo, para construir la superestructura (universo) sobre el conjunto de $\mathbb{R}$ uno se percata de que todos los $x\in\mathbb{R}$ es un átomo en el sentido de que $x\cap\mathbb{R}=\varnothing$ y, además, $x\cap V(\mathbb{R})=\varnothing$ donde $V(\mathbb{R})$ es el universo, en $\mathbb{R}$.

Este punto de vista es útil en la construcción de exóticos extensiones $V(\mathbb{R})\subseteq {}^{\ast}V(\mathbb{R})$ que el Tao es muy aficionado; véase por ejemplo, este.