Un espacio vectorial es una estructura matemática, y aunque en sí es bastante informativo, una vez que usted sabe que un conjunto es un espacio vectorial, esto no significa que su trabajo está hecho, usted puede dejar de quemar el aceite de la medianoche y golpeó el heno.
Por ejemplo: hay un evidente espacio vectorial isomorfismo entre el espacio de $n-1 $ grado de los polinomios (llamada $\mathbb{R}[x] $) y $\mathbb{R}^n $. Tan lejos como la adición de vectores y la multiplicación escalar se refiere, son exactamente los mismos. Sin embargo, tratándolos como si el mismo es posible perder algunas de las propiedades adicionales del polinomio espacio considerando el último espacio en el lugar de la antigua.
De la misma manera, usted puede tener un isomorfismo de $\mathbb{R}^n $ a su doble, que, en la medida que el espacio vectorial estructura se refiere, es el mismo espacio vectorial.
Del mismo modo, cuando se considera el conjunto de operadores lineales $Hom(V,W) $, o el conjunto de espacio vectorial homorphisms de un espacio vectorial $V$ con dimensión $n$ a un espacio vectorial $W$ con dimensión $m$, hay un isomorfismo de $Hom(V,W) $ para el conjunto de la $m \times n $ matrices. Si usted tiene $V = W $, también tiene un isomorfismo entre el conjunto de las matrices para el conjunto de formas bilineales $B: V \times V \rightarrow \mathbb{F} $ (donde $\mathbb{F} $ es el campo subyacente).
¿Qué significa esto? Obviamente, estos conjuntos no son el mismo. Cada uno de estos conjuntos puede ser utilizado de diferentes maneras y tienen propiedades que no tienen nada que ver uno con otro. Incluso a pensar que ese $Hom(V,V) $ es el mismo que el conjunto de formas bilineales en $V$ sería un muy grave error. Cada uno de estos grupos tiene una estructura adicional, naturalmente, que dan lugar a ciertas propiedades que son medulares para uno, pero no se ajusta a las otras.
Es decir, un espacio vectorial es un amplio concepto bastante que dos espacios vectoriales que tienen la misma dimensión y están en el mismo campo, aún puede tener tan diferentes descripciones y funcionalidad dependiendo del contexto, algunos de los cuales sólo se aplican a ciertos tipos de espacios vectoriales.
El valor de los vectores en el espacio como una metáfora es la que dota de un amplio, aparentemente dispares grupo de conjuntos con las ideas de ángulo (cuando usted tiene un producto interior), la dirección y la magnitud, incluso cuando parece que no tienen nada que ver con ellos.
