PS
No tengo idea de cómo calcular esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
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No tengo idea de cómo calcular esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Consejos:
Utilizar la descomposición parcial de fracciones .
Evalúe $~J(k)=\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos(kx)}{x^2+n^2}dx,~$ y luego exprese la (s) integral (es) en términos de$J'(k)$.
note que el integrand es una función par, por lo que puede tomar la mitad de la integral a lo largo de todo el eje real. ya que, como función de una variable compleja, también es$O(|z|^{-2})$ como$z \rightarrow \infty$, la integral de un semicírculo grande$\rightarrow 0$, por lo que puede usar el teorema de residuos con polos$z=bi$ y$z=ai$
esto le da $$ \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ frac {x \ sin x} {(x ^ 2 + a ^ 2) (x ^ 2 + b ^ 2)} dx = \ frac {\ sinh b - \ sinh a} {(b ^ 2-a ^ 2)} \ pi $$
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