¿Cómo hacer la integración de esto?

Question

PS

No tengo idea de cómo calcular esto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Consejos:

• Utilizar la descomposición parcial de fracciones .

• Evalúe $~J(k)=\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos(kx)}{x^2+n^2}dx,~$ y luego exprese la (s) integral (es) en términos de$J'(k)$.

Answer 2

note que el integrand es una función par, por lo que puede tomar la mitad de la integral a lo largo de todo el eje real. ya que, como función de una variable compleja, también es$O(|z|^{-2})$ como$z \rightarrow \infty$, la integral de un semicírculo grande$\rightarrow 0$, por lo que puede usar el teorema de residuos con polos$z=bi$ y$z=ai$

esto le da $$\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ frac {x \ sin x} {(x ^ 2 + a ^ 2) (x ^ 2 + b ^ 2)} dx = \ frac {\ sinh b - \ sinh a} {(b ^ 2-a ^ 2)} \ pi$$