¿Cuál es la definición rigurosa de "toque" en matemáticas?

Question

Esto me está molestando mucho: cómo definimos "toque" de forma rigurosa en matemáticas. He perdido literalmente horas por esto, un ejemplo sería una pregunta en mi libro de texto que pide resolver la ecuación del círculo que toca un punto determinado y una línea de cierta ecuación pasa a través de este punto.

• ¿Significa una tangente?
• ¿Significa una secante?
• ¿O es que un toque satisface la definición de "objeto geométrico" dentro de $\epsilon$ bajo restricciones de ceratint
• ¿Se utiliza el término "tocar" en el sentido de sólo una o dos veces (como la secante) o muchas veces (imagina una curva sinusoidal doblada alrededor de un círculo, por lo que se "toca" muchas veces)?

¿Por qué pregunto esto?

La mayoría de los libros de matemáticas utilizan las palabras "toque" en todo el mundo sin una definición rigurosa y lo mismo ocurre con las preguntas, no indican a qué tipo de "toque" se refieren y en qué condiciones.

Entonces, ¿hay alguna definición de "tacto" consensuada por la comunidad matemática con rigor y razonamiento fundado?

PARA SU INFORMACIÓN: He añadido algunas etiquetas que pueden no parecer directamente aplicables, pero con ellas quiero destacar que esta pregunta debe responderse en general [1] contexto aplicable a esos campos (ya que las cosas como el punto y el "toque" están estrechamente entremezcladas con aquellos [por supuesto cuando se aplica una cierta perspectiva geométrica, para ser exactos])

1]Me pregunto si hay diferentes definiciones de punto y de contacto en diferentes campos, como mi profesor una vez dio una breve introducción a las diferentes definiciones de "curva" a la luz de diferentes campos como la geometría diferencial, la topología y luego la analítica, aunque su explicación dio la intuición (que podría ser errónea) de que estos tipos de definiciones insinúan la misma cosa, aunque vista desde diferentes puntos de vista.

Así que me pregunto si hay una definición general (ya que la generalidad es vista como "belleza" en las matemáticas), pero soy escéptico de que pueda haber alguna excepción bajo ciertas restricciones.

Answer 1

No se trata de una respuesta completa y sistemática, sino de una extensa reflexión en la línea del juez Potter Stewart definición de obscenidad . Nunca he visto una definición explícita de toque pero he visto que el término se utiliza cualitativamente para significar "tangente (en el límite)" o "intersección, pero con interior no superpuesto". (Como es sabido, tangere significa "tocar").

Con la esperanza de entender cómo se utiliza el término, he aquí una muestra dispersa de usos reales y potenciales.

1. Si $C$  es la gráfica de una función diferenciable y $L$  es una línea, entendería " $L$  (sólo) toques $C$ en  $p$ " para significar " $L$  es tangente a  $C$ en  $p$ ". En particular, $L$  y $C$ puede tener otros puntos de intersección, algunos o todos ellos no tangentes. (El adverbio "sólo" significaría que $p$  es un punto aislado de la intersección $C \cap L$ .)

   En general, entendería que " $L$  cruza $C$ en  $p$ " para significar $p \in L \cap C$ pero $L$  no es la línea tangente a  $C$ en  $p$ .

2. Si $C$ es una curva plana cerrada (es decir, la imagen homeomórfica de un círculo en el plano euclidiano), entendería "una línea  $L$ toca  $C$ " para significar $L$  es un línea de apoyo de  $C$ , es decir, " $L \cap C$ no está vacío, y $C$  está contenido en uno de los semiplanos cerrados determinados por  $L$ ".

3. De forma análoga al punto anterior, si $C$  es la gráfica de una función continua (presumiblemente no diferenciable)  $f$ es decir, el conjunto cero de la función continua $F(x, y) = y - f(x)$ , yo tendería a interpretar " $L$  (sólo) toques $C$ en  $p$ " para significar que "existe un $r > 0$ tal que en la bola abierta de radio  $r$ sobre  $p$ la función  $F$ no cambia de signo a lo largo de  $L$ "; de nuevo, "sólo" significaría que en  $L$ el punto  $p$ es un cero aislado de  $F$ .

   En particular, el gráfico $y = |x|$ sólo toca el $x$ -eje en el origen, el gráfico $y = |x - 1| + |x + 1|$ toca el $x$ -eje a lo largo de $[-1, 1] \times \{0\}$ un polígono plano convexo cerrado  $P$ sólo toca cada línea que se cruza  $P$ en exactamente un punto, y toca (la línea que se extiende) cada lado.

   Obsérvese que, según este criterio, el $x$ -eje $y = 0$ y el gráfico $y = x^{3}$ no "toque" en el origen, porque $y - x^{3}$ cambia de signo en el origen en el $x$ -eje.

4. Para dos curvas suaves o dos superficies suaves en el espacio, yo asumiría que "tocar" significa "tangente", mientras que una curva suave  $C$ "toca" una superficie lisa  $S$ en un punto  $p$ si la línea tangente a  $C$ en  $p$ se encuentra en el plano tangente a  $S$ en  $p$ .

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Un "escenario general natural" para los ejemplos anteriores sería una variedad lisa, en la que al hablar de dos subconjuntos que se "tocan" suponemos que al menos uno de ellos es un submanifold liso o el cierre de un submanifold abierto delimitado por una hipersuperficie lisa (como una bola cerrada en el espacio, pero no un disco cerrado en el espacio). (Me suena a impar hablar de una línea en el espacio que toca un disco cerrado, por ejemplo).

En entornos geométricos elementales, es probable que haya múltiples definiciones "naturales" equivalentes. La conclusión es: Cuando surja el término, presta mucha atención al contexto e intenta formular una definición que capte la intención del autor.

Answer 2

Suelo interpretar la expresión " $A$ toque $B$ en $p$ " como " $A$ y $B$ intersección transversalmente en $p$ ". Creo que esta es la mejor manera de expresarlo ya que esta noción es estable bajo pequeñas perturbaciones de $A$ y $B$ . Lo sé, puede parecer incompleto, pero proviene de mi experiencia cotidiana con la topología.

Answer 3

Una forma común no rigurosa de verlo.. para que se toquen dos líneas en un plano se cortan en dos puntos coincidentes y llevan una tangente y una normal comunes en este punto doble. La ecuación tiene una raíz doble por lo que el discriminante desaparece.Es el caso límite cuando una secante se convierte en tangente. Para la secante el discriminante es distinto de cero con raíces reales distintas.

En el espacio tenemos un plano tangencial común de contacto y una dirección normal común.La dirección tangencial en el espacio es indeterminada en el punto de contacto.