Usando una integral para resolver una variable a

Question

Estoy luchando para usar la siguiente ecuación:

$$ \ int_0 ^ a \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} \, \, \ text {sgn} (| x | -1) \, dx = 0 $$

donde$a > 1$, para deducir ese$a = \text{cosec}(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2})$, donde$\alpha$ satisface$\alpha = \cos(\alpha)$.

Integro el integrand, via

$$ \ int_0 ^ a \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} \, \, \ text {sgn} (| x | -1) \, dx = - \ int_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} \, dx + \ int_1 ^ a \ sqrt {a ^ 2-x ^ 2} \, dx $$

Pero una vez que calculo esas integrales parece que no puedo acercarme más a la respuesta.

Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

En primer lugar, $a>1$$x\in[0,a]$, $|x|=x\ge0$

$$ \renewcommand\sgn{\operatorname{sgn}} \renewcommand\arcsec{\operatorname{arcsec}} \begin{array}{ll} 0\!\!\!&=\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\sgn(x-1)\,\mathrm dx\\ &=\int_1^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx-\int_0^1\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx \end{array} $$ Entonces $$\int_1^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=\int_0^1\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\tag{1}$$ Pero $$\int_1^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=\text{Area of }DAB\tag{2}$$ $$\int_0^1\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx=\text{Area of }ODBC\tag{3}$$

y el área de $DAB+$ área de $ODBC=\dfrac14$área de disco$(a)=\dfrac{\pi a^2}4$

A continuación, $(1),(2),(3)$ de rendimiento

$$2\text{area of }DAB=\dfrac{\pi a^2}4\implies\text{ area of }DAB=\dfrac{\pi a^2}8=\int_1^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\tag{★}$$

Por otra parte: Área de sector $OAB=\pi\theta= \pi\arccos\left(\frac1a\right)= \pi\arcsec a$
Por otro lado, en la Zona de sector $OAB=$ Área del triángulo $ODB+$ Área de $DAB$.

A continuación, $$\boxed{\displaystyle\pi\arcsec a=\dfrac12\sqrt{a^2-1}+\int_1^a\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx}\tag{★★}$$

De $($★$)$ y $($★★$)$ de ello se sigue que: $a$ es una solución de la ecuación

$$\boxed{\displaystyle\pi\arcsec a=\dfrac12\sqrt{a^2-1}+\frac{\pi a^2}{8}}$$

Transformé el problema inicial en uno más simple (espero!)

Answer 2

Su pregunta ahora es: Si $\alpha =2\sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}$ ¿cómo se puede demostrar que $\cos \alpha =\alpha ?$

Su pregunta del título es :" resolver una variable $a$ " esto significa que: el problema es: la solución para la variable $a$ la ecuación de $\cos \alpha =\alpha ,$ donde$a>1.$, por tanto, vamos a:

De$\frac{\alpha }{2}=\sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}$, $\cos (\frac{\alpha }{% 2})=\frac{1}{a}$ (figure may help i will attach it below). But $\cos ^{2}(% \frac{\alpha }{2})=\frac{1+\cos \alpha }{2}=\frac{1}{un^{2}}$ hence $\cos \alpha =\frac{2}{a^{2}}-1.$ Therefore $\cos \alpha =\alpha $ if and only if $% \frac{2}{a^{2}}-1=2\sqrt{1-\frac{1}{un^{2}}},$ or $\sqrt{1-\frac{1}{a^{2}}}=% \frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{2}.$ Así que la solución de esta ecuación y teniendo sólo solución $>1$ se obtiene $a=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}\simeq 1.07>1.$