Estoy tratando de derivar la siguiente fórmula de Plancherel:
$$\|f\|^{2}= \sum_ { \xi\in\widehat {G}}{ \dim (V_{ \xi })\| \widehat {f}( \xi )\|^{2}}$$
de la declaración del Teorema de Peter-Weyl dada por Terence Tao aquí :
Deje que $G$ ser un grupo compacto. Entonces la representación regular $ \tau\colon G \rightarrow U(L^{2}(G))$ es isomorfo a la suma directa de representaciones irreductibles. De hecho, uno tiene $ \tau\cong\bigoplus_ { \xi\in\widehat {G}}{ \rho_ { \xi }^{ \bigoplus \dim (V_{ \xi })}}$ donde $( \rho_ { \xi })_{ \xi\in\widehat {G}}$ es una enumeración de las irreductibles representaciones unitarias de dimensiones finitas $ \rho_ { \xi } \colon G \rightarrow U(V_{ \xi })$ hasta el isomorfismo.
Me las arreglé para probar la inversión de Fourier a partir de esto sin ninguna dificultad, pero estoy realmente luchando para ver cómo la fórmula de Plancherel se desprende de ella. Estoy bastante seguro de que el hecho de que tengamos $\| \operatorname {Proj}_{ \xi }f\|= \dim (V_{ \xi })^{1/2}\| \widehat {f}( \xi )\|$ es el principal ingrediente de la prueba (aquí, he usado $\| \operatorname {Proj}_{ \xi }f\|$ para denotar la proyección ortogonal de $f$ a $L^{2}(G)_{ \xi }$ ), y la mayoría de mis intentos se han reducido a tratar de mostrar la igualdad demostrando la desigualdad en ambas direcciones - mostrando $ \sum_ { \xi\in\widehat {G}}{ \dim (V_{ \xi })\| \widehat {f}( \xi )\|^{2}} \le \|f\|^{2}$ es bastante trivial, aunque si este es el enfoque correcto, simplemente no puedo hacer que las desigualdades funcionen en la otra dirección, a pesar de haber intentado casi todas las formas posibles de verlo - mi principal problema es que siempre termino en el punto en que podría probar el resultado si pudiera probar que un cuadrado de una suma de normas está limitado por la suma de los cuadrados de las normas, lo que claramente no es cierto en general (i. e. si todas las normas son 1 y la suma no es trivial), y no veo ninguna razón para que sean iguales en este caso. Cualquier ayuda o sugerencia será muy apreciada!
Editar: Alternativamente, puedo ver cómo es esto a partir de la observación de Tao de que podemos escribir $L^{2}(G) \cong\bigoplus_ { \xi\in\widehat {G}}{ \dim (V_{ \xi }) \cdot HS(V_{ \xi })}$ esto es inmediato $\|f\|^{2}= \langle f,f \rangle = \sum_ { \xi\in\widehat {G}}{ \dim (V_{ \xi }) \cdot\langle\widehat {f}, \widehat {f} \rangle }= \sum_ { \xi\in\widehat {G}}{ \dim (V_{ \xi })\| \widehat {f}( \xi )\|^{2}}$ así que estaría bien con una explicación de cómo se obtiene este isomorfismo (si es que puede por cualquier otro medio que no sea la combinación de las afirmaciones de la inversión de Fourier y la fórmula de Plancherel).
