¿Es una muestra aleatoria de una distribución de Poisson también Poisson distribuida?

Question

Coche analogía:

Asumir el tráfico (número de vehículos por hora) en una carretera tiene una distribución de Poisson, y el tiempo entre los coches de la coincidencia de una distribución exponencial. Si la probabilidad de cada coche rojo es independiente del tiempo y el color de los otros coches, el número de coches rojos por hora también tiene una distribución de Poisson?

Tengo la fuerte sospecha. Además espero que E(autos rojos)=p(roja) * E(autos), y debido a la distribución de Poisson σ(coches rojos) = p(roja) * σ(coches). Pero, ¿cómo iba yo a (dis)demostrar esto?

Answer 1

Lo que has descrito es un resultado estándar e importante de la teoría de los procesos estocásticos. Elija cualquier buen libro en la biblioteca, vaya al capítulo "Procesos de Poisson" y busque "descomposición" o, en ocasiones, "adelgazamiento".

Dos de mis favoritos son Introducción a los procesos estocásticos por Cinlar y Essentials of Stochastic Processes por Durrett.

Answer 2

Creo que se necesitan suposiciones adicionales para sacar esta conclusión.

Imagina esto: los coches en la carretera son originalmente sin pintar, pero justo antes de que usted los observa un demonio decide de qué color van a ser: rojo u otro color (de la cual no podría ser muchos). El demonio no tiene un reloj (para asegurarse de que todo lo que él hace es independiente del tiempo), pero no tienen una buena moneda. Normalmente se tira la moneda para determinar si el coche va a ser de color rojo o de algún otro color. Sin embargo, su lata de pintura roja puede el color de los diez coches y debe ser utilizado tan pronto como sea posible. Por lo tanto, si la moneda decide rojo, el demonio sólo sigue adelante y pinturas de los próximos diez coches de color rojo. Una vez que la pintura está agotado, vuelve a darle la vuelta a la moneda. Otros colores están pintados de la misma manera.

Obviamente el coche conteo por unidad de tiempo se ven afectadas por este procedimiento, pero espero que sea igual de obvio que el recuento de los coches rojos por unidad de tiempo no es un proceso de Poisson, porque va a ser overdispersed: habrá demasiados altos cargos, debido al temporal de aglutinación de los coches rojos, y también muchos recuentos bajos, debido al temporal de la aglutinación de la no-coches rojos.

Podría ser que esta situación viola el sentido de "la posibilidad de que el rojo es independiente del color de los otros coches," pero es difícil saber exactamente lo que significa esta declaración, ya que está abierta a varias interpretaciones. En el presente caso, la probabilidad de que el siguiente coche para ser observado es de color rojo, dado que el anterior coche era rojo ("los otros" colores), es independiente del color del coche anterior.

Answer 3

usted podría modelar el flujo de tráfico de los coches rojos como un compuesto de la distribución de poisson.

supongamos que nos fijamos en el número N de los coches que pasan en un tiempo fijo [8 horas, tal vez]. N debe tener una distribución de poisson, de acuerdo a su hipótesis. deje $\lambda$ ser la distribución de poisson de parámetro para N.

supongamos que todos los coches son incoloros, para empezar. como cada coche que pasa, lanzamos una moneda para el cual P(cara) = $p$. [presumiblemente $p$ va a reflejar la proporción de los coches rojos en la población.] cada vez que la moneda de tierras 'jefes' el coche es de color rojo.

entonces, si M denota el número de coches rojos visto en el período de tiempo involucrado, M es también de poisson con parámetro de $p\lambda$. [fácil la tarea de ejercicio, o ver feller del libro: introducción a la teoría de la probabilidad$\cdots$, vol 1, wiley.]