Definición de los sólidos platónicos y arquimedianos mediante grupos de simetría.

Question

Un sólido platónico se define como un poliedro convexo en el que todas las caras son congruentes y regulares, y en el que el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Un Sólido Arquimediano elimina el requisito de que todas las caras sean iguales, pero deben seguir siendo regulares y cada vértice debe tener la misma disposición de caras.

Sin embargo, para los sólidos arquimedianos, el pseudorhombicuboctaedro se ajusta a esta definición, a pesar de no ser transitivo en los vértices (lo que significa que el grupo de rotación del sólido no actúa transitivamente en los vértices).

Me preguntaba: Para los sólidos platónicos, ¿es equivalente definirlos como poliedros convexos que son transitivos de cara, vértice y arista (mientras que para los sólidos arquimedianos, eliminamos la condición de transitividad de cara)? La transitividad de caras obliga a que todas las caras sean congruentes, la transitividad de aristas obliga a que todas las caras sean equiláteras, y la transitividad de vértices obliga a que el número sea el mismo (o la disposición, en términos de sólidos arquimedianos). No me parece evidente que estas condiciones obliguen a que las caras sean equiangulares y equiláteras... ¿se deduce de ello o hay algún contraejemplo?

Answer 1

De hecho, la definición moderna de poliedro regular/sólido platónico es un poliedro que es transitivo en vértices, aristas y caras, por lo que esa definición es equivalente a la más antigua.

Para ver que la nueva definición no incluye ningún otro poliedro, primero observamos que, si en un poliedro cada cara tiene el mismo número de lados y cada vértice toca el mismo número de aristas, entonces el gráfico del poliedro es isomorfo al gráfico de uno de los cinco sólidos platónicos. Esto se deduce de la fórmula de Euler V - E + F = 2 y de algunos análisis de casos. Tres de los sólidos están formados por triángulos y, por supuesto, si un triángulo tiene lados iguales es regular. Para un poliedro isomorfo al cubo, si el lado no es un cuadrado es un rombo con dos ángulos diferentes. El número total de ángulos grandes es 12, al igual que el número total de ángulos pequeños. Como los vértices son transitivos, cada vértice debe tener el mismo número de ángulos grandes y pequeños, lo que significa que tendrían que tener 1,5 cada uno, lo que es imposible. El mismo argumento se aplica al dodecaedro: si los ángulos de los lados pentagonales no son todos iguales, un ángulo particular debe ocurrir 12n veces para n = 1,2,3,4. Sin embargo, ese mismo ángulo debe ocurrir algún múltiplo de 20 veces cuando se consideran los vértices, por lo que de nuevo tenemos una imposibilidad.

Por lo tanto, concluimos de lo anterior que las caras de un poliedro regular deben ser regulares. Por tanto, el poliedro debe ser uno de los cinco sólidos platónicos (utilizando la antigua definición).

Answer 2

Ser un Sólido de Arquímedes es no es lo mismo que ser transitivo de vértices y aristas. Mientras que los sólidos de Arquímedes son todos transitivos de vértice (son poliedros uniformes después de todo), la mayoría de ellos son no transitivo en el borde.

Observe que sólo hay nueve poliedros (convexos) de borde transitivo (cinco de ellos regulares), pero hay más de nueve sólidos arquimedianos.

Answer 3

La principal observación aquí es la siguiente:

El hecho de que los vértices sean transitivos (y que sólo se consideren sólidos acotados) requiere que los vértices se encuentren en la esfera. Por otro lado, las caras tienen que ser planas por definición, por lo que están contenidas en un plano de apoyo. La intersección entre el plano y la esfera (bola) proporciona simplemente un círculo (disco). Ahora, utilizando sólo las aristas equisadas (siendo un sólido arquimediano), es evidente que el circuito de aristas de cada cara poligonal tiene todos sus vértices en ese mismo círculo, estarán uniformemente espaciados entre sí, por lo que, en efecto, cada uno de ellos resulta ser sólo un polígono regular.

De hecho, esto se aplicaría también a sus homólogos no convexos, sólo que las caras podrían convertirse también en polígonos regulares no convexos. Pero aún así, todos los ángulos de las esquinas serían forzados al mismo tamaño.

Obsérvese que el mismo argumento se aplica también a la otra geometría no plana, es decir, a los tilings hiperbólicos. De nuevo, la sección transversal de un plano de caras planas y el hiperboloide que las soporta define un círculo. - Por el contrario, este argumento se rompería dentro de cualquier geometría plana (espacio euclidiano de dimensión arbitraria). Así, por ejemplo, existe un mosaico de vértices, aristas y caras, que no es un mosaico regular del plano: el mosaico rómbico (de rombos no cuadrados).

--- rk