Series con coeficientes binomiales

Question

Necesito obtener un formulario cerrado para esta serie$$\sum_{x=0}^{\infty} x {z \choose x} \lambda ^ x \mu^{z-x}$ $

Sé que$\sum_{x=0}^{\infty} {z \choose x} \lambda ^ x \mu^{z-x} = (\lambda + \mu)^z$ (formalmente) y siento que debo proceder de aquí por diferenciación, pero no sé cómo.

Answer 1

Deje que$$\sum_{x=0}^{\infty} {z \choose x} \lambda ^ x \mu^{z-x}=(\lambda + \mu)^z$ $ por diferenciación sobre$\lambda$:$$\sum_{x=0}^{\infty} x {z \choose x} \lambda ^ {x-1} \mu^{z-x}=z(\lambda + \mu)^{z-1}$ $ múltiples lados con$\lambda$ $$\sum_{x=0}^{\infty} x {z \choose x} \lambda ^ x \mu^{z-x}=z\lambda(\lambda + \mu)^{z-1}$% $

Answer 2

Aquí es otra variación del tema, sin diferenciación.

Obtenemos \begin{align*} \sum_{x=1}^\infty x\binom{z}{x}\lambda^x\mu^{z-x} &=\mu^zz\sum_{x=1}^\infty\binom{z-1}{x-1}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^x\tag{1}\\ &=\mu^{z}z\sum_{x=0}^\infty\binom{z-1}{x}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{x+1}\tag{2}\\ &=\lambda\mu^{z-1}z\left(1+\frac{\lambda}{\mu}\right)^{z-1}\tag{3}\\ &=\lambda z(\lambda+\mu)^{z-1} \end{align*}

Comentario:

• En (1) partimos de la mano izquierda de la serie con $x=1$ debido a que el factor de $x$ y en el lado derecho podemos utilizar el binomio identidad $\binom{p}{q}=\frac{p}{q}\binom{p-1}{q-1}$.

• En (2) nos cambio el índice de $x$ por uno a inicio de $x=0$.

• En (3) se aplica el binomio de expansión de la serie.

Answer 3

Para obtener algo parecido al teorema del binomio, debe eliminar ese factor$x$ en los términos. Bueno, cuando expresamos el coeficiente binomial como factoriales, tenemos un factor de$x!$ en el denominador, por lo que podemos cancelar, excepto cuando$x=0$, pero por fortuna ...

PS

Y puedes proceder desde allí hasta que tengas algo familiar.

(Pista: usa un cambio de variables).