El conjunto de matrices $n \times n$ con traza igual a cero es un subespacio de $M_ {n \times n} \ left (F \ right)$

Question

El conjunto de matrices de $n \times n$ con traza igual a cero es un subespacio de $M_{n \times n} \left(F\right)$

Entiendo que la traza de una matriz es la suma de las entradas diagonales. También entiendo que una matriz de $n \times n$ se define como una matriz cuadrada. Sin embargo, no entiendo por qué esto significa que la mencionada matriz debe ser por lo tanto un subespacio de una matriz cuadrada, $\mathrm M_{n \times n} \left(F\right)$.

Agradecería mucho si alguien pudiera tomar el tiempo para aclararme este concepto.

Answer 1

• Es no vacío ya que la matriz nula $(0)_{n,n}\in E$, donde $E$ es el subespacio que estás buscando.

• Si $M_1,M_2\in E$, $\lambda \in F$, entonces

$$\mathrm{tr}(M_1+\lambda M_2)=\mathrm{tr}(M_1)+\lambda \mathrm{tr}(M_2)=0$$

porque $M_1,M_2\in E$.

Entonces $E$ es de hecho un subespacio vectorial de $M_{n,n}(F)$.

Answer 2

Sea $E$ un espacio vectorial. Un subconjunto (no vacío) $U$ de $V$ es un subespacio (de $V$) si $U$ está cerrado por adición y producto por un escalar :

• $\forall x,y \in U, x+y \in U$
• $\forall \lambda \in F, \forall x\in U, \lambda x \in U$

Por lo tanto, aquí necesitas probar que :

• la suma de dos matrices con traza cero tiene traza cero
• si multiplicas una matriz con traza cero, el resultado tiene traza cero

Estas dos propiedades son realmente fáciles de demostrar

Answer 3

Entonces, sea $A = \{a_{ij}\}$ y $B = \{b_{ij}\}$. Si $A$ y $B$ tienen traza $0$, significa que $0 = \sum_{i=1}^n a_{ii} = \sum_{i=1}^n b_{ii}$. Ahora, $C = A+B$ tiene entradas diagonales $c_{ii} = a_{ii} + b_{ii}$, de manera que $\sum_{i=1}^n c_{ii} = \sum_{i=1}^n a_{ii} + b_{ii} = \sum_{i=1}^n a_{ii} + \sum_{i=1}^n b_{ii} = 0$, por lo que $C$ también tiene traza $0$. De manera similar, si $A$ tiene traza $0$, $dA$ también la tendrá, para cualquier $d\in\mathbb{R}$, ya que $\sum_{i=1}^n da_{ii} = d\sum_{i=1}^n a_{ii} = 0.

Cuando el cierre descrito anteriormente se cumple, las otras propiedades seguirán en línea. Si $c=0$, tienes una identidad aditiva, si $c=-1$, tienes un inverso, todo lo demás se hereda de las propiedades generales de la suma de matrices y multiplicación por escalar.