suma de series binomiales

Question

¿Cómo resuelvo la suma de las series binomiales que es la siguiente:$$\frac{1}{3}\sum^{\infty}_{x=0}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\frac{1}{3}^x$ $

Creo que sería bastante fácil sumar desde$y=0$ a$x$, pero no tengo idea de cómo sumar desde$x=0$ a$x=\infty$.

Gracias,

Answer 1

Recuerde teorema del binomio: $$ (p+q)^x = \sum_{y} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} q^y p^{x-y} $$ Con $ p = 1/3 $: $$ (1/3+q)^x = \sum_{y} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} q^y \left( \frac{1}{3} \right)^{x-y} = \sum_{y} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} 3^y q^y \left( \frac{1}{3} \right)^{x} $$ Ahora suma más de $ x $ en ambos lados y reorganizar algunas cosas en la suma da: $$ \sum_{x = 0}^\infty (1/3 + q)^x = \sum_{x} \sum_{y} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} 3^y p^y \left( \frac{1}{3} \right)^{x} \\ =\sum_{y} p^y 3^y \; \sum_{x} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \left( \frac{1}{3} \right)^{x} $$ Así que todo lo que tienes que hacer para encontrar su suma es encontrar el coeficiente de $ q^y $ plazo en $ \sum_{x = 0}^\infty (1/3 + q)^x $, y dividir por $ 3^y $. La suma es fácil de calcular, por la serie geométrica: $$ \sum_{x = 0}^\infty (1/3 + q)^x = \frac{1}{2/3 - q} \\ = \frac{3}{2} \sum_y (3 q /2)^y $$ Where in the last line I used the geometric series expansion of $ 1/(1 - x) $ The coefficient of $ p^y $ is $(3/2)^{y+1} $, dividing by $ 3^y $ gives $ 3/ 2^{y+1} $.